Re: [分析] weakly converge in L^2

[herstein (輸很大輸不用錢)]

※ 引述《cadairka (無)》之銘言：
:   如果 f_k -> f weakly in L^2
: and  f_k -> g a.e.
: Is f=g a.e. ?
: 感謝解答 :p
證明f=g a.e等同於證明f-g=0 a.e.
那仔細想一下如果我們能夠證明|f-g|_2=0便能夠證明f-g=0 a.e.
先想一下我們怎麼湊出|f-g|_2 。既然是內積空間，想當然我們要用內積
去解決這個問題。那麼<u,u>=|u|^2可知

|f-g|_2^2=<f-g,f-g>

那麼我們利用f_k->> f知道

    <f_k - g, f-g> -> <f-g,f-g>

另一方面如果能夠證明f_k->>g (weakly)利用 <f_k-g,f-g> = <f_k,f-g> -<g,f-g>
可知道
    <f_k-g,f-g> -> <g,f-g> -<g,f-g> =0

因此可知<f-g,f-g> =0

那內積的正定性質=> f-g=0 a.e. => f=g a.e.

f_k->> g weakly由LDCT可以證明
1)f_k->>f weakly可知f_k 的norm有界
2)f_k-> g a.e => f_k h -> g h a.e.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.120.178.219
※ 編輯: herstein        來自: 128.120.178.219      (04/22 17:52)
→ herstein:忘記獎了可以證明f_k->g weakly
→ herstein:dominated convergence theorem證明...
推 cadairka:<f_k,f-g> -> <f,f-g>,but why <f_k,f-g> -> <g,f-g> ?
→ herstein:可以證明f_k->g weakly
※ 編輯: herstein        來自: 128.120.178.219      (04/22 21:55)
推 cadairka:Thank you very much. ;P