[分析] 兩題高微考古題

[k6416337 (第一次獻給了涼宮版-光希)]

1.Let U and V be two open sets in |R^k.Let f:U->V be a homeomorphism,that is,
f is one to one,onto and continuous on U,and its inverse f^-1 is continuous
on V.Let S be a subset of U such that S(bar) contained in U.
Prove or disprove that f(σS)=σf(S).Here S(bar) is  the closure of S and σS
is  the boundary of S.

我認為是對啦，我有證f(σS)被包含在σf(S).另外一個方向我是這樣證
令T=f(S)。用類似"f(σS)被包含在σf(S)"的結果，f^-1(σT)＜σf^-1(T)
=>f^-1(σf(S))＜σf^-1(f(S))=σS =兩邊取f=> σf(S)＜f(σS)

不過後來我覺得這樣證不對勁，所以改用最基本的集合包含方式來證
可是後來我又在想，σf(S)一定會在V裡面嗎?所以想先證這個
之後就不會證了

2.Define f:(0,∞)->|R by f(x)=x^α,0<α<1.
Prove that f satisfies |f(x)-f(y)|≦β|x-y|^γ for all x,yε(0,∞),
where β and γ are positive constants.

因為這形式看起來有點跟均值定理有關，原本是打算用均值定理來作
f'(x)=α/[x^(1-α)].
如果這題是討論在[1,∞)的話，就可以找出f'(x)的上界了，可是問題就出在(0,1]
所以我就不會做了

這兩題懇請高手指點，謝謝
這兩題出自交大95年高微考題

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http://0rz.tw/b42r6
禮奈：你看到了吧？
K1：沒...沒有啊，我什麼都不知道，哈哈(抓頭
禮奈：是這樣啊~
禮奈：http://0rz.tw/ef2uo 
蟬：唧唧唧唧唧唧唧唧唧唧......

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 202.132.188.137
推 math1209:(1) 你可以問問自己：σf(S) 不在 V 中會怎樣．．．
→ math1209:(2) 請至 bbs://bs2.to 版:P_Apostol 精華區-(8) 微積分
→ math1209:(15) 不等式-2.
→ k6416337:我想不到會怎樣= =
推 Qiang:......
推 math1209:σf(S) 是 closed, V 是 open. 如果不在裡面，那就有一個
→ math1209:點 y 不在 V 中, 但在 σf(S) 裡.
→ math1209:這樣一來很容易看到矛盾了～
→ k6416337:是說這問題要靠想像嗎?
→ k6416337:f(S)被包含在V 怎可能邊界點不被包含在V裡面嗎?