※ 引述《a19850407 (猴塞雷)》之銘言：
: 1.If f is a continuous real function defined in (a,b) such that
: f[(a+b)/2]小於等於[f(a)+f(b)]/2 for all a,b屬於(a,b).
: Prove that f is convex.
: 2.Let f have a second derative at each point of (a,b).
: Then f is convex on (a,b) if and only if f"(x)大於等於0 for each x屬於(a,b).
(1) 利用數學歸納法，可證明出對於有理數 q, 其中 0＜ q ＜ 1, 我們有
f(qx ＋ (1－q)y) ≦ q f(x) ＋ (1－q) f(y). (A)
再由 (A) 以及 f 的連續性，我們知道 f 為凸函數。
NOTE. 此處的歸納法，使用了反向歸納法…
(2) Hints.
(i) 命 f 為定義於 (a,b) 上之凸函數，給定 a＜s＜t＜u＜b, 則有
f(t) － f(s) f(u) － f(s) f(u) － f(t)
------------- ≦ ------------- ≦ -------------.
t － s u － s u － t
(ii) 命 f 為定義於 (a,b) 上之可微函數。則 f 為凸函數 on (a,b) 其必要且充分
之條件為 f' 為遞增函數 on (a,b).
NOTE. (i) 請考慮凸函數的定義即可。
(ii) 藉由 (i) 來證明。而你要的只是 (ii) 的推論。
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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