※ 引述《steven850405 (Xavier)》之銘言：
: 如題所示
: 要如何證明9的n次-6的n次-4的n次＋1可以被30整除呢
: （n為正整數）
proof 30 | 9^n - 6^n -4^n + 1
9^n=3^n*3^n 6^n=3^n*2^n 4^n=2^n*2^n
9^n - 6^n=3^n*3^n - 3^n*2^n
=(3^n - 2^n)*3^n
3 must divide 9^n - 6^n
-4^n + 1=-(4^n - 1)= (2^n+1) (2^n-1)
let 2^n = m 3 doesn't divide so m =\= 3a
then m / 3= x.....1 or m / 3 = y.....2
if m / 3 = x.....1 ----> m-1 must divide 3
if m / 3 = y.....2 ----> m-2 divide 3 ----> m+1 also divide 3
"3 | 9^n - 6^n -4^n + 1"
9^n must be odd so that 2|9^n + 1
- 6^n -4^n=-(3^n*2^n+2^n*2^n)= -(3^n+2^n)*2^n
2|- 6^n -4^n
"2| 9^n - 6^n -4^n + 1 "
- 6^n + 1= -(6^n-1)
6=(5*1+1) 6^n=(5*1+1)^n
5|- 6^n + 1
9^n=3^n*3^n 4^n=2^n*2^n
9^n-4^n=(3^n+2^n)(3^n-2^n)
n is odd
5|((5-2)^n+2^n)
n is even
5|((5-2)^n-2^n)
5| 9^n -4^n
"5 | 9^n - 6^n -4^n + 1"
-> "30 | 9^n - 6^n -4^n + 1"
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