推 czk0622 :可以用同一頁的第一題來造的說 09/27 19:47
※ 引述《smartlwj (實變我好愛你)》之銘言：
: 這是 Zygmund 的習題 P.31 第四題
: Let {f_k} be a sequence of functions of bounded variation
: ib [a,b]. If V[f_k;a,b] ≦ M < +∞ for all k and if f_k → f
: pointwise on [a,b], show that f is of bounded variation and
: that V[f;a,b] ≦ M. Give an example of a convergent sequence
: of functions of bounded variation whose limit is not of
: bounded variation.
: 請問後面的例子為什麼要舉一個 f_k 為bounded variation
: 收斂到 f, 但是f 卻不是bounded variation.
: 前面的問題不就是証明說f_k若為bounded variation 且f_k
: 收斂到f, 則f就會是bounded variation.
: 是我把題目的意思理解錯誤嗎??請指教 謝謝
前面的敘述是 V[f_k;a,b] ≦ M !!! 所以 V[f;a,b] ≦ M!!!
後面是要求你找一個 seqence of BV, 也就是 V[f_k;a,b] < +∞ 就行了
雖然這個 seqence 逐點收斂, 但是收斂函數 f 無法保證 V[f;a,b] < +∞ ~
簡單找一個 詳細證明留給你自己
考慮 [0,1] 區間, fn(x)= sin x / x 1_(1/n,1]
顯然 fn 會收斂到 f = sin x / x on (0,1]
= 1 x=0
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