※ 引述《q0300768 (NANA真好看~^^)》之銘言：
: 交92(V)
: (a) Let a and b be real numbers with a<b, suppose that the function
: f:(a,b) → R is bounded and is monotonic increasing. Prove that
: both lim f(x) and lim f(x) exist, and so f can be extended to a
: x→a+ x→b-
: continuous function on [a,b].
這裡顯然少了 f 在 (a,b) 之間連續。
Proof. 由於 f 有界，記 sup f(x)：＝ M, 且 inf f(x)：＝ m. 則易證明
f(x) → m, as x→a+, 且 f(x) → M, as x→b-.
定義 g (x) ＝ f(x) if x in (a,b),
＝ M if x = b,
＝ m if x = a.
則 g 必為連續函數 on [a,b].
NOTE. 如果 f 不是有界，例如 tan x:(-π/2,π/2)→|R, 那這結果不會成立。
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