Problem：f belongs to L^p_0(X,M,μ) for some 0 < p_0 < ∞

         assume μ(X) = 1

         Prove lim  ║f║_p = exp [∫ log｜f｜dμ ].
               p→0                 X

         positive part of log｜f｜is integrable

         if ∫ log｜f｜dμ= -∞
             X
         in this case lim║f║_p = 0
                      p→0
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書上給出提示(只po出一小部分)如下：

先考慮｜f｜> 0 a.e.且以知 lim ∫｜f｜^p dμ = μ({f≠0})
      　　                p→0 X

利用上述及mean value theorem可證得

log║f║_p = (║f║_q)^(-q) ∫｜f｜^q log ｜f｜ dμ　　for some 0 < q < p
                             X


請高手提示怎麼證明上面書上給的提示？
※ 編輯: hau             來自: 61.59.223.74         (12/27 02:12)
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