※ 引述《wuxr (wuxr)》之銘言:
: 有勞各位先進了
: {fn:R to R} function sequences such that fn is continuous for all n, x
: and fn(0)=0 for all n, |fn'(x)|≦2 for all n, x
: If lim fn(x)=g(x) for all x
: n
: show that g is continuous.
: 我的作法是這樣子
: fix a
: For any n
: since fn is conti. at a
: exist δ depends on n and a s.t |fn(x)-fn(a)|<ε/3 if |x-a|<δ
: for any x in (a-δ, a+δ) since lim fn(x)=g(x) for all x
: there is
: n1 s.t |fn(x)-g(x)| <ε/3 if n>n1
: n2 s.t |fn(a)-g(a)| <ε/3 if n>n2
: choose n>n1 and n>n2
: then |g(x)-g(a)|<|g(x)-fn(x)|+|fn(x)-fn(a)|+|fn(a)-g(a)|<ε
: 請問這樣子對嗎?因為我沒有用到題目給的條件,覺得怪怪的!
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r=e^theta
即使有改變,我始終如一。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.68.26.15
這有一個很狡猾的方法
Claim: fn在[-m,m]上converge uniformly to g
(因此g在[-m,m]上連續 for all m,即g在R上連續)
為了要證Claim,想用Arzela Ascoli定理
Check:(都是用均值定理)
1. uniformly bounded
|fn(x)| = |fn(x) - fn(0)| <= 2|x-0| <= 2m
2. equicontinuous
|fn(x)-fn(y)| <= 2|x-y| < epsilon if, |x-y|< epsilon/2
故可用Arzela Ascoli定理
{fn}中任一子序列都存在一個子序列 converge uniformly 至某函數
然後fn 逐點收斂至g,故
這種converge uniformly的子序列當然是converge uniformly到 g
也就是我們證得:
{fn}中任一子序列都存在子序列converge uniformly 至g
但其實由極限的性質,這樣就有 fn converge uniformly至 g