Re: [分析] 連續函數一題(Urysohn's Lemma)

[math1209 (.......................)]

※ 引述《k6416337 (↖煞气a光希↘)》之銘言：
: Let F be closed and G be open s.t. FㄈGㄈ|R^n.Show that there is a continuous
: f:|R^n->|R s.t.
:                  0≦f(x)≦1 for all x屬於|R^n
:                      f(x)=1 for all x屬於F
:                      f(x)=0 for all x屬於|R^n\G.
: 這邊的証明是分CASE的
: 我分了(1)F≠空集合,G≠|R^n(2)F=空集合,G≠|R^n(3)F≠空集合,G=|R^n.
: 在(2)與(3)，我分別定義f(x)=0跟f(x)=1
: 根據這樣定義，似乎有滿足上列的條件
: 請問我這樣定義行嗎?因為老師的解答並不是這樣做的

我懶得改了…(下面跟你上面要求的等價)

(定理 4) Let F_1, and F_2 be closed in |R^n. If F_1∩F_2＝ψ, then there is a
         continuous function f defined on |R^n such that 0≦f(x)≦1 and,

              f(x) ＝ 1 for x in F_1 and f(x) ＝ 0 for x in F_2.


Proof.
                         d(x,F_2)
         f(x):＝ --------------------------
                   d(x,F_1) +  d(x,F_2)


NOTE. 對於定理 4, 我們有其一般化的結果，我們稱之為 Urysohn's Lemma.

(Urysohn's Lemma) Let F_1 and F_2 be disjoint closed sets in a normal space X.
                  Then there exists a continuous real-valued function on X with
                  0≦f(x)≦1 for all x in X, and

                  f(x)＝1 for x in F_1 and f(x)＝0 for x in F_2.


--
Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 220.133.4.14
推 k6416337    :你寫的這個是原課本上的証明，也就是我CASE(1)的証明
→ k6416337    :可是你並沒有證CASE(2)跟(3)，老師的題目只說F是閉集
→ math1209    :你要自己改寫阿.. = =
→ math1209    :還有你的 F 與 G 不可以是 空集 與 宇集.
→ math1209    :否則題目給的結論會導致在空集上有函數值.
→ math1209    :因此, 你的 F 就是我的 F_1. 你的 |R\G = F_2.
→ k6416337    :那根據你說的，老師的解答是錯的喔?老師有分空集合喔
→ math1209    :這你本來就要自己判斷了....定義域等於空集,就不用
→ math1209    :談了...
→ k6416337    :那考試如果考這題，你會不會分?
→ math1209    :我很久沒考過試了...
→ math1209    :你自己要有判斷的能力...老師說的不一定都是對的...
推 cgkm        :'for all x in an empty set' always holds =)
→ cgkm        :還有 (4) F = G = 空集  但這可以併入 (2) 或 (3)