Re: [分析] compact

[iamagine (A-gine)]

※ 引述《Eliphalet (帶港幣八蚊)》之銘言：
: ※ 引述《iamagine (A-gine)》之銘言：
: : Check whether the set E = {(x,y)| x E [0,1] , and y = 1 if x is rational
: : y = 0 if x is irrational} in |R^2 is compact or not. If E is not compact ,
: : find the smallest compact set K such that EㄈK. Justify your answer.
: : 麻煩大大們了>""<
:   從 Heine-Borel 定理 , E 是 compact <=> E is closed & bounded
:   當然 E 是 bounded 但不是 closed , 所以 E 並不是 compact .
:    K 是包含 E 的最小的 closed & bounded 的集合
:    因此 K = closure of E
:    希望是對的 , 有錯請指教


根據大大的提示...

如果取 H = {(x,y)| x E [0,1] , and y = 0 if x is rational
                                   y = 1 if x is irrational}

K = E U H   (聯集)

這樣子的 K 是對的嗎?

還有一個問題，對於 E 不是 closed 有點困難，不曉得怎麼看>""<?

麻煩大大了~

謝謝大家

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To高微課本：

  嗚~可不可以不要對我這麼嚴厲>""<

From:一直都學不好的我

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 120.107.174.106
推 math1209:你只要問你自己一個問題：[0,1]∩Q 的 closure 是誰?
→ iamagine:是[0,1]嗎? 不太確定= =a (不安ing)
→ math1209:因 (1) [0,1] 一定是 cl([0,1]∩Q) 的子集，且
→ math1209:(2) [0,1]∩Q 一定是 [0,1] 的子集, 故
→ math1209:cl([0,1]∩Q) =[0,1] 一定是 cl([0,1]) = [0,1] 的子集.
→ math1209:由 (1), (2). cl([0,1]∩Q) ＝ [0,1].                    05/19 03:11
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到這邊都可以了解了，謝謝大大~

那個...可以麻煩大大跟我說為什麼這個 E 不是 closed ?
E = {(x,y)| x E [0,1] , and y = 1 if x is rational
                            y = 0 if x is irrational}


※ 編輯: iamagine        來自: 120.107.174.106      (05/19 08:23)
→ iamagine:麻煩大大了>""<
推 wuxr:插花一下，考慮數列(Qn,1)，其中Qn是一個收斂到1/√2的有理列
→ wuxr:(Qn,1)是一E的一個收斂列，但是極限卻不在E，所以E不是closed
※ 編輯: iamagine        來自: 120.107.174.106      (05/19 13:40)