Re: [分析] 用待定係數法解ODE

[ytyty (該換個版潛水了™ )]

※ 引述《lau245021 (月詩)》之銘言：
: 拜託幫個忙 下面四題  算是越詳細越好
: 不過只限用 待定係數法
: 1.y"+y=2xsinx
對應的齊次方程式
y"+y=0
特徵方程式
m^2+1=0
m=±i
y_c(x)=c_1cosx+c_2sinx

假設y_p(x)=Ax^2cosx+Bx^2sinx+Cxcosx+Dxsinx(全部多乘一個x以避免和y_c重複)

    y_p'(x)=2Axcosx+A^2(-sinx)+2Bxsinx+Bx^2cosx+Ccosx+Cx(-sinx)+Dsinx+Dxcosx

           =[Bx^2+(2A+D)x+C]cosx+[-Ax^2+(2B-C)x+D]sinx

    y_p"(x)=[2Bx+(2A+D)]cosx+[Bx^2+(2A+D)x+C](-sinx)+[-2Ax+(2B-C)]sinx

            +[-Ax^2+(2B-C)x+D]cosx

           =[-Ax^2+(4B-C)x+2A+2D]cosx+[-Bx^2+(-4A-D)x+2B-2C)]sinx

代入原所求方程式中得

y"+y=[-Ax^2+(4B-C)x+2A+2D]cosx+[-Bx^2+(-4A-D)x+2B-2C)]sinx

     +Ax^2cosx+Bx^2sinx+Cxcosx+Dxsinx

     =(4Bx+2A+2D)cosx+(-4Ax+2B-2C)sinx = 2xsinx

比較係數得

        4B=0        A=-1/2
     2A+2D=0   解得 B=0
       -4A=2        C=0
     2B-2C=0        D=1/2

所以y_p(x)=(-1/2)x^2cosx+0x^2sinx+0xcosx+(1/2)xsinx

          =(-1/2)x^2cosx+(1/2)xsinx

通解y(x)=y_c(x)+y_p(x)=c_1cosx+c_2sinx+(-1/2)x^2cosx+(1/2)xsinx

:               -x     -x
: 2.y"+2y'+y=-3e   +8xe   +1
對應的齊次方程式
y"+2y'+y=0
特徵方程式
m^2+2m+1=0
(m+1)^2=0
m=-1,-1

y_c(x)=(c_1+c_2x)e^(-x)


假設y_p(x)=(Ax^2+Bx^3)e^(-x)+C(前兩項多乘x^2以避免和y_c重複，最後常數沒影響)

    y_p'(x)=(2Ax+3Bx^2)e^(-x)+(Ax^2+Bx^3)[-e^(-x)]

           =[-Bx^3+(-A+3B)x^2+2Ax]e^(-x)

    y_p"(x)=[-3Bx^2+2(-A+3B)x+2A]e^(-x)+[-Bx^3+(-A+3B)x^2+2Ax][-e^(-x)]

           =[Bx^3+(A-6B)x^2+(-4A+6B)x+2A]e^(-x)

代入原所求方程式中得

y"+2y'+y=[Bx^3+(A-6B)x^2+(-4A+6B)x+2A]e^(-x)+2[-Bx^3+(-A+3B)x^2+2Ax]e^(-x)

        +(Ax^2+Bx^3)e^(-x)+C

        =2Ae^(-x)+6Bxe^(-x)+C = -3e^(-x)+8xe^(-x)+1

比較係數得

               2A=-3         A=-3/2
               6B=8    解得  B=4/3
               C=1           C=1

所以y_p(x)=[(-3/2)x^2+(4/3)x^3]e^(-x)+1

通解y(x)=y_c(x)+y_p(x)=(c_1+c_2x)e^(-x)+[(-3/2)x^2+(4/3)x^3]e^(-x)+1
:    2
: 3.x y"-2xy+2y=1+ln∣x∣

:                -2x
: 4.y"+2y'=2x+5-e


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想睡覺了...另兩題下次再解了~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.114.245.100
推 lau245021   :感謝大大解答 我第三題已經解出來了
→ lau245021   :第4題 我最後一項1/8xe^(-2x) 可是解答是1/2xe^(-2x)
→ lau245021   :不知問題出在哪......><"
推 going000    :第2題特徵方程式解出來的m應該是-1，但y_h居然對
※ 編輯: ytyty           來自: 163.17.44.102        (12/15 08:10)
→ ytyty       :感謝g大~筆誤~晚上想睡覺了XD
※ 編輯: ytyty           來自: 163.17.44.102        (12/15 08:12)
→ ytyty       :剛算了一下~答案是1/2xe^(-2x)沒錯，解答待會再補~
→ suker       :看起來很累 (c_1+c_2x)e^(-x) =f(x)*e^(-x) 微分
→ suker       :再重新整理 會比較好算不會這麼複雜