推 dnzteeqrq:真用心 推一個@@ 不過 三角涵數不是高中才教了@@~ 05/05 22:27
※ 編輯: wettland5566 來自: 118.231.6.212 (06/09 20:57)
※ 引述《misadventure (蒼藍幻羽)》之銘言：
: 圖形在這邊
: http://www.badongo.com/pic/5835341
: 求出A(月亮的面積)的面積，不得使用微積分
: 只能使用國中或是國小的方法...
: 請各位高手解答...
: 謝謝了
我想到一個解法， 但不是很漂亮，勉強可以解，
希望另有高手，提出更漂亮的解法，
http://img2.pict.com/7b/ae/fd/77f6a5dd2a30d0747ef3ec20c5/RvyoI/mathproblem.jpg
請配合我畫的圖，我來詳解
小圓是正方形的內切圓，半徑為正方形邊長一半的5
大圓是以正方形右上方的頂點B為圓心，半徑跟正方形邊長一樣為10
小圓的圓心為O，小圓跟大圓交於P, Q兩點，
黃色部份是原po想要求的月亮面積，我應該沒理解錯吧！
PQ間畫一直線為PQ線段，BO延長線和PQ線段交於S，和大圓的PQ圓弧交於T，
和小圓的PQ圓弧交於R，
這樣P和Q之間有三個路徑：直線PSQ，大圓圓弧PTQ，小圓圓弧PRQ。
PSQTP為一個弓形的區域，我用綠色表示，
因為∠POS = ∠QOS，OP = OQ = 小圓半徑5，OS等於是等腰三角形ΔPOQ頂角的角平分線，
OS垂直於PQ線段，且PS = SQ
畢氏定理： BM^2 + MO^2 = BO^2
5^2 + 5^2 = BO^2
解出 BO = 5√2
設PS = SQ = x，OS = y
畢氏定理 : x^2 + y^2 = 25
x^2 + (y+5√2)^2 = 100
解出 x= (5√7)/(2√2) y = 5√2/4
PQ長度= 2x = 5√7/√2
國中應該有教餘弦定理吧！
設∠PBQ = α
(5√7/√2)^2 = 10^2 + 10^2 -2*10*10*cosα
cosα = 9/16
α = cos^-1(9/16)
cos^-1是我用以代表cosine函數反運算的意思，單位為徑度
扇形區域PBQTP的面績為100π*[cos^-1(9/16)] / 2π = 50*[cos^-1(9/16)]
ΔPBQ面積 = (5√7/√2) * (5√2/4 + 5√2 ) * (1/2) = 125√7/8
弓形PSQTP的面積(綠色部份) = 扇形區域PBQTP - ΔPBQ面積
= 50*[cos^-1(9/16)] - 125√7/8
再用一次餘弦定理！
設∠POQ = β
(5√7/√2)^2 = 5^2 + 5^2 -2*5*5*cosβ
cosβ = -3/4
β = cos^-1(-3/4)
扇形區域POQRP的面積為 25π*[cos^-1(-3/4)] / 2π = 12.5*[cos^-1(-3/4)]
ΔPOQ面積 = (5√7/√2) * (5√2/4) * (1/2) = 25√7/8
所求月亮面積 = 扇形區域POQRP的面積 - 弓形PSQTP的面積 - ΔPOQ面積
= 12.5*[cos^-1(-3/4)] - {50*[cos^-1(9/16)] - 125√7/8} - 25√7/8
= 12.5*[cos^-1(-3/4)] - 50*[cos^-1(9/16)] + 25√7/2
解答就是12.5*[cos^-1(-3/4)] - 50*[cos^-1(9/16)] + 25√7/2
我用windows附的計算機，算出來大約是14.6381
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