Re: [分析] Rudin exercise 6.13

[hcsoso (索索)]

※ 引述《math1209 (將心比心)》之銘言：
:     (c) Find the upper and lower bound limit of xf(x), as x→∞.
: Proof. [這是我好幾年前寫的，有問題再討論討論吧 XD]
: We will use Lemma (in note) to show lim sup xf(x)＝1, and lim inf xf(x)＝－1.
: Claim lim sup cos (x^2)－cos [(x＋1)^2]＝2 as follows. Taking x ＝ n√(2π),
: where n in Z, then
:                    cos (x^2)－cos [(x＋1)^2] ＝ 1－ cos (n√(8π) ＋ 1)
: If we can show that {n√(8π)} is dense in [0,2π) mod 2π, we complete the
: proof. It is equivalent to show that {n√(2/π)} is dense in [0,1) mod 1.
: It is clear that by the lemma in the note. So, we have proved that
: lim sup cos (x^2)－cos [(x＋1)^2]＝2. Similarly, we also have
: lim inf cos (x^2)－cos [(x＋1)^2]＝－2.
: So, we finally have lim sup xf(x)＝1, and lim inf xf(x)＝－1.
: Note. (Lemma－Dirichlet) If α is an irrational number, then
:        S ＝ {nα＋m: n in N, m in Z} is dense in |R. Equivalently;
:        {nα} is dense in [0,1) modulus 1.
:        [The proof of lemma can be found in the Exercise 25, Chap 3.]

x = n \sqrt{2 pi} 是相當漂亮的 trick！

這樣就不用擔心 x 是實數，只要看 n 整數就好了:]

而關於 Lemma 的部份，剛剛想了一會兒大概清楚了，

可以試著解釋看看，請指正我不對的地方~

-- 很不嚴謹分隔線 --

如果今天 r 是無理數，就可以想像 1 和 r 的「最大公因數」會小於任意 epsilon，

也就是說， S = { nr + m1 } 是個擁有能收斂到任意實數能力的集合，

也就是 S dense in R。

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3.24-25 相當精采，謝謝大大提供！

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◆ From: 220.133.15.15
推 math1209:差不多了，你可以找 Apostol, 高微. 第一章習題
→ math1209:ex. 15, 16. 然後利用這個習題 16, 給予上述 lemma 的證
→ math1209:明. 此外，這個 lemma 是 Dirichlet 發現的.
→ math1209:就證明方法來說，我們還可以使用 Bolzano-Weierstrass
→ math1209:Theorem 去得到這個 Dirichlet lemma.
→ math1209:也就是說，你現在知道兩種方法去證明上述的 lemma.
→ math1209:在講一點，有一個比這個 lemma 還要強悍的定理:
→ math1209:(Weyl Theorem) If α is an irrational number, then
→ math1209:lim_n→∞ (1/n)#{k in |N: 1≦k≦n, <kα> in [a,b]}
→ math1209: = b-a. 夠你忙得了 XD
推 math1209:我上面寫錯一個地方，不是第三章，而是第四章 = =
→ hcsoso:哈哈，難怪沒有辦法直接導出來:] 不過有那題還是有幫助！