※ 引述《yutzu903 ()》之銘言：
: ※ 引述《hips (hips)》之銘言：
: : (1) lim |f|_p = exp(∫log|f|du)
: : p->0
: 寫一下我目前算到的~
: 由於 u(X)=1, Jensen不等式 可以得到 ||f||p 遞減
: 顯然 ||f||p >=0 , 所以 lim ||f||p 存在~
: 且 可以考慮 子序列 pn = 1/n 就好
: 考慮 f(x) = x^(1/n)- (1/n)log x - 1 , x>0
: 利用一次微分 且 f(1)=0 我們知道
: x^(1/n) >= (1/n)log x + 1 , x > 0
: 因此
: |f|^(1/n) >= (1/n) log |f| + 1
: 兩邊同時積分, 取 n 次方 會得到
: ||f||_(1/n) >= ( (1/n) S log |f| du + 1)^n
: ^^^^^^^^^^
: 注意一下這是一個數
: 讓 n--> infinit 會得到 不等式的一邊~
: 還沒想到不等式的另外一邊
: 但是這種證明 等號的 常常利用這種技巧證明
Apply Jensen's inequalty to φ(x) = e^x and log|f|^r
to get
exp(∫log|f|^r) <= ∫|f|^r
i.e.
exp(∫log|f|) <= (∫|f|^r) ^1/r
let r --> 0 we obtain
exp(∫log|f|) <= lim |f|_r
這部我忘記打上去
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.167.165.23