作者andante72 (adagio)
看板Math
標題[分析] 關於(0,1)的實數集合uncountable的證明
時間Wed Sep 23 15:48:39 2009
關於 (0,1) 區間的實數集合 為 uncountable set 的證明，我在書上
看到的是 diagonal 式的證明。把 (0,1) 的數表為
0.d1 d2 d3 ..... dn ......
的形式，其中 d1, d2,... 等是 0,1,2,3...9 的整數。
假設 (0,1) 間的實數能和自然數成 one-to-one mapping,
x1 = 0.a1 a2 a3 ....
x2 = 0.b1 b2 b3 ....
x3 = 0.c1 c2 c3 ...
：
然後考慮一個實數 x ，它的小數點後第 k 的 digital 是 xk 的第 k 的 digital
再加 1 (modulo 10) 。如此 x 屬於 (0,1)，但 x 不等於任何的 xk,
這是矛盾，所以 (0,1) 為 uncountable.
對於以上證明我沒有疑問。我的疑問是，既然 (0,1) 的任一個實數可以表示成
0.d1 d2 d3 .... dn ....
這樣的形式，那我把這個數對應到
...dn ....d3 d2 d1
這個自然數，如：
0.1 -> 1
0.12 -> 21
0.12345 -> 54321
0.001 -> 100
這樣似乎也能在 (0,1) 與自然數間建立 1-1 mapping.
這樣的說法盲點再哪裡？
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◆ From: 59.127.12.11
→ Sfly :1/9 對應到哪個自然數? 09/23 16:15
推 JohnMash :which natual number corresponds to sqrt(2)-1? 09/23 16:16
推 Hseuler :科科 09/23 16:37
推 Potervens :科科 09/23 16:58
→ andante72 :整數，有理數，代數數 都是 countable set 09/23 17:14
→ andante72 :1/9是有理數，sqrt(2)-1是代數數 09/23 17:15
→ Sfly :we were talking about the map in the final part 09/23 17:22
→ Sfly :which isn't well-defined 09/23 17:23