[分析] 成大考古題

[clouddeep (fix point)]

1.Given a sequence of trigonometric functions:

        {(sin nx)^2 | x in [0,2pi]}  n=1,2,3,....

  Does it converge uniformly? And evaluating this limit

     2pi
 lim∫  f(x)(sin nx)^2 dx
     0



      這一題我可以証出他不是uniform convergence，
      只要代x=pi/2，且n是奇數整數，m是偶數整數，則

      |(sin (pi/2)n)^2 - (sin (pi/2)m)^2| = |1-0| = 1 for all x in [0,2pi]

      這樣應該沒錯吧...？

      只是後面那個不大曉得怎麼找，本來想說用bounded convergence theorem去找，
      但我卻寫不出(sin nx)^2的極限....



2.Prove that the double improper integral

    ＋∞＋∞
   ∫  ∫   exp[-(ax^2 + 2bxy + cy^2)]dxdy   a>0, ac>b
    -∞ -∞

converges. Could you evaluate the integral?


     完全不會算....orz


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請大師指教！感謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 123.195.32.213
推 math1209:(1) 想想 Riemann-Lebesgue lemma. (2) 直接算～
→ math1209:(2) 的參考書:華羅庚,數學分析導引(上)
→ clouddeep:感謝大師！
推 k6416337:考慮 fn(x)→f(x) unif. <=> ||fn-f||→0 吧
→ clouddeep:感謝樓上的  我嘗試看看~
→ clouddeep:math1209大師  我不太懂說R-L lemma不是可積分的定理嗎
→ clouddeep:對解這題有什麼幫助嗎.....orz