※ 引述《llewxam (鋼琴中的大賦格)》之銘言：
: 最近在看A wavelet tour of signal processing 2rd ed.
: 在227頁有個級數
: 2 ∞ 1 2
: csc x = Σ (---------)
: k=-∞ x + kπ
: 請問要怎麼證明呢？
: 我記得多項式在分母的級數可以用複變方法求
: 但是忘記公式了...
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先求 cotz 的展開式:
<1>
由 cotz = cosz/sinz 可知 cotz 在 z=0 不 analytic
但是 lim [cotz - (1/z)] = 0 (可用 laurent series 証明)
z→0
<2>
假設 f(z) = cotz - (1/z)
1 f(z)
考慮積分 S(n,w) = ____ ∮ _______ dz
2πi Cn (z - w)
其中 Cn: square contour for -(nπ+π/2) ≦ Re{z} ≦ (nπ+π/2)
-(nπ+π/2) ≦ Im{z} ≦ (nπ+π/2)
n屬於N , 且 w 落在 Cn 區域裡
可知 f(z) 的 pole 有 ±π 、 ±2π 、 ... 、 ±nπ
(注意 cotz 因為扣掉1/z 而 pole z=0 被 remove 掉了)
由 Cauchy Integral Formula ( 或 Residue Theorem ) 可知
n 1
S(n,w) = f(w) + Σ _______ for k≠0
k=-n kπ - w
n 2w
= f(w) + Σ _____________ ____(1)
k=1 (kπ)^2 - w^2
<3>
by (1) ,可知
w f(z)
____ ∮ ________ dz = S(n,w) - S(n,0)
2πi Cn (z - w)z
n 2w
= f(w) + Σ _____________
k=1 (kπ)^2 - w^2
當 n → ∞
左式會趨近於 0 (等等會證明)
因此上式可改寫成 :
∞ 2w
0 = f(w) + Σ _____________
k=1 (kπ)^2 - w^2
∞ 2w
→ -cot(w) = -1/w + Σ _____________
k=1 (kπ)^2 - w^2
∞ 1
= -1/w + Σ __________ for k≠0
k=-∞ (kπ) - w
∞ 1
= Σ _________
k=-∞ (kπ) - w
( differendial w to the both side)
2 ∞ 1
→ csc w = Σ _____________
k=-∞ [(kπ) - w]^2
這與您給的級數是一樣的
只是 index 差一個負號而已 (令 r=-k )
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<4>
証明當 n→∞
w f(z)
____ ∮ ________ dz = S(n,w) - S(n,0) → 0
2πi Cn (z - w)z
pf:
｜f(z)｜ = ｜cotz - 1/z｜
≦ ｜cotz｜ + ｜1/z｜
cosx*coshy - i*sinx*sinhy 1
= ｜_________________________｜ + _____ for z=x+iy
sinx*coshy + i*cosx*sinhy ｜z｜
1. if z 屬於 right side region of Cn
cos(nπ+π/2)*coshy - i*sin(nπ+π/2)*sinhy 1
｜f(z)｜ ≦ ｜___________________________________________｜ + ________
sin(nπ+π/2)*coshy + i*cos(nπ+π/2)*sinhy nπ+π/2
- i*sinhy 1
= ｜_________｜ + ________
coshy nπ+π/2
1
= ｜tanhy｜ + ________
nπ+π/2
1
≦ 1 + ________
nπ+π/2
if z 屬於 left side region of Cn ...
if z 屬於 top side region of Cn ...
if z 屬於 bottom side region of Cn ...
仿照上述的証法，最後應該可得到:
1
｜f(z)｜ ≦ 1 + _____ _____(2)
3π/2
2.
令 w = α + iβ
if z 屬於 right side region of Cn
｜z-w｜≧ ｜nπ+π/2 - α｜ ( recall |z|≧Re{z} and |z|≧Im{z} )
and ｜z｜≧ ｜nπ+π/2｜
1 1
→ __________ ≦ ____________________________
｜(z-w)z｜ ｜(nπ+π/2 - α)(nπ+π/2)｜
仿造 1. 的推論，去證明 Cn 其它三個邊界
最後可得到:
1 1
__________ ≦ max{ ___________________________ , p = ±α、±β}
｜(z-w)z｜ ｜(nπ+π/2 + p)(nπ+π/2)｜
= Qn _____(3)
3.
根據 ML Inequality
f(z) 1
｜∮ ________ dz ｜ ≦ (1 + _____)*Qn*4π(2n+1)
Cn (z - w)z 3π/2
當 n→∞ , 右式會趨近於 0
左式也會趨近於 0
得証
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複變函數課本應該會講這類函數展開的方法
所以我証明只有打主要的部份
剩下 detail 部分可能要自己看書 ＝＝a
ps: 課本好像把這叫做 Mittag-Leffler Theorem
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