作者Potervens ()
看板Math
標題Re: [分析] 台大高微一題
時間Mon Mar 2 11:52:56 2009
※ 引述《clouddeep (fix point)》之銘言：
: If g is continuous and nonegative on [0,1] with g(0)=0=g(1),
: show that there exsit a,b in [0,1] such that g(a)=g(b) and b-a=1/2.
: 考試的時候我居然想到要用連通性來証必然有這個中間值，
: 真不知道在發什麼神經....orz
: 這論述基本上還挺直觀的，不過不知道要怎樣寫比較嚴謹？
: 本想說用基本積分定理來寫，不過非負所以遞增，好像也沒法說微分等於零？
: 請板上大師指點，感謝！
首先我們把g(x)擴展到整個|R上之後(g(x)=g(x+1))，
定義 f(x) = g(x) - g(x+1/2) 在|R上
因為g本身是連續函數且g(0)=0=g(1)，所以此函數也會是連續的，
f(0) = -g(1/2) < 0
f(1) = g(1+1/2) = g(1/2) > 0
所以存在a使得
f(a) = g(a) - g(a+1/2) = 0
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◆ From: 122.116.42.100
→ clouddeep:看了都哭哭了 居然這麼短就証完了 orz 感謝！ 03/02 12:17
推 clouddeep:太帥氣了 為什麼我想不到 orz 03/02 12:25
→ apom0228:可以請問一下f(1)=g(1)-g(1+1/2)=0-g(1+1/2)= -g(1/2)這 03/02 13:31
→ apom0228:樣有錯嗎?跟上面的差一個負號 03/02 13:32
推 clouddeep:1+1/2不是落在[0,1]裡面吧..... 03/02 14:03
→ ert0700:設f(x) = g(x-1/4) - g(x+1/4) 這樣呢 03/02 15:53
推 herstein:不用啦...就用f(1/2)根f(0)就可以了 03/02 16:24
→ herstein:不需要擴張f的定義域... 03/02 16:25
→ Potervens:難怪感覺跟小時候寫的不一樣… 03/02 17:35
→ clouddeep:大家都解的很順....唉 真的感覺只有我寫不出來= = 03/02 20:06