推 utomaya:第2題 上下同時除以(x-1)^2 就看得出來是0了 07/22 01:08
※ 編輯: shadosz 來自: 218.175.25.209 (07/22 01:19)
推 iamagine:謝謝大大~ 我了解哩>////< 07/22 22:46
※ 引述《iamagine (A-gine)》之銘言：
: Prove that the limit of f exists at (x,y) → (a,b)
: and find the value of that limit.
: (1) f(x,y) = __ysinx__ (x,y) → (0,1)
: x
: (2) f(x,y) = __(x^2)y - 2xy + y - (x-1)^2 __ (x,y) → (1,1)
: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2
: 因為...逐次做極限好像要在先知道極限是存在才能使用>""<
: 然後，現在不知道該怎麼辦了...
: 麻煩大大提示~
: 謝謝大家~~
(1) 考慮兩種函數: g(x,y) = y 且 h(x,y) = (sinx)/x,
因為當 (x,y) 逼近 (0,1) 時, g(x,y) 逼近 1 且 h(x,y) 逼近 1.
(h(x,y) 逼近 1 可用羅必達法則導出.)
故 g(x,y) 和 h(x,y) 的極限值存在.
又 f = g．h, 所以 f(x,y) 逼近 1．1 = 1 當 (x,y) 逼近 (0,1)
(2) 原式分母 = (x-1)^2 + (y-1)^2,
原式分子 = (y-1)(x-1)^2.
令 h = x-1 且 k = y-1.
則原式經參數代換後變為 f(h,k) = (k．h^2)/(h^2 + k^2),
又當 (x,y) 逼近 (1,1) 時, 等同於 (h,k) 逼近 (0,0)
故原題意相當於求 f(h,k) 當 (h,k) 逼近 (0,0) 時之極限值.
檢驗: 所求之極限值為 0.
Pf.
給定 ε > 0, 選取 δ = ε > 0,
對於任意在 |R^2 中的 (h,k),
若 0 < d((h,k),(0,0)) = (h^2 + k^2)^(1/2) < δ,
則 d(f(h,k),0) = |(k．h^2)/(h^2 + k^2)|
≦ |k．(h^2 + k^2)/(h^2 + k^2)| (因為 k^2 ≧ 0.)
= |k|
= (k^2)^(1/2)
≦ (h^2 + k^2)^(1/2) (因為 h^2 ≧ 0.)
< δ
= ε.
既然 ε 是任取的, 所以 f(h,k) 當 (h,k) 逼近 (0,0) 時, 其極限值為 0,
意即 f(x,y) 當 (x,y) 逼近 (1,1) 時, 其極限值為 0.
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以上內容, 僅供參考, 若有問題, 敬請指教. 謝謝.
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