推 lau245021 :感謝= = 我第一題就是卡在sec*cos的積分= =" 12/15 23:15
※ 引述《lau245021 (月詩)》之銘言：
: 因為小弟最近在準備平時考
: 算到卡住 在學校又找不到老師 這幾天又都是選修課 遇不到高手
: 所以= = 拜託了 下面7題
: 以之一解 用降階法 求下列ODE
: 1.x^2y"+xy'+(X^2-1/4)y=0 y_1(x)=cosx/√x
: 2.(1-x^2)y"-2xy'+2y=0 y_1(x)=x
: 這題我算到最後變成
: ∫-4x^2+2/x(x^2-1)dx=dv/v 不知對不對 可是我還是兜不出答案= ="
: (y=c_1x+c_2(-1+(x/2)ln ∣x+1/x-1∣))
: 用"參數變換法"求下列ODE
: 1.x^2y"+xy'+y=sec(ln x)
令x=e^t
將原式轉換可得
d^2 y dy dy
── - ─ + ─ +y = sect
dt^2 dt dt
d^2 y
── +y = sect
dt^2
這裡開始跟第五題幾乎一模一樣~
把它貼上來~
d^2 y
── +y = sect
dt^2
對應的齊次方程式
d^2 y
── +y = 0
dt^2
特徵方程式
m^2+1=0
m=±i
y_c(t)=c_1cost+c_2sint
設y_p(t)=A(t)cost+B(t)sint
│cost sint│
w(t)=│ │= 1
│-sint cost│
sect*sint sint (cost)'
A(t)=-∫───── dt =-∫── dt =∫─── dt = ln│cost│
1 cost cost
secx*cost
B(x)= ∫───── dx =∫1dt = t
1
所以y_p(t)=ln│cost│*cost+t*sint
通解y(t)=y_c(t)+y_p(t)=c_1cost+c_2sint+ln│cost│*cost+t*sint
將x=e^t 即 t=ln│x│代入得
y(x)=c_1cosln│x│+c_2sinln│x│+ln│cosln│x││*cosln│x│+ln│x│*sinln│x│
: 2.3y"-6y'+6y=e^(x)secx
: 3.(D^2+1)y=secθtanθ
: 4.y"-3y'+2y=-(e^(3x)/e^(x)+1)
: 5.y"+y=secx
先做第5題試試看
y"+y=secx
對應的齊次方程式
y"+y=0
特徵方程式
m^2+1=0
m=±i
y_c(x)=c_1cosx+c_2sinx
設y_p(x)=A(x)cosx+B(x)sinx
│cosx sinx│
w(x)=│ │= 1
│-sinx cosx│
secx*sinx sinx (cosx)'
A(x)=-∫───── dx =-∫── dx =∫─── dx = ln│cosx│
1 cosx cosx
secx*cosx
B(x)= ∫───── dx =∫1dx = x
1
所以y_p(x)=ln│cosx│*cosx+x*sinx
通解y(x)=y_c(x)+y_p(x)=c_1cosx+c_2sinx+ln│cosx│*cosx+x*sinx
: 小弟數學真的不是很好= = 所以 算式拜託 詳細一點
: 感謝大家
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