推 math1209:大推特推 XD 03/10 10:49
※ 編輯: mathmanliu 來自: 123.193.32.236 (03/12 19:17)
※ 引述《iamagine (A-gine)》之銘言：
: Find the extrema of f(x,y,z)=(x^4)+(y^4)+(z^4), on the circle
: defined by (x^2)+(y^2)+(z^2)=1,and x+y+z=1
用一個較另類的想法吧!
設 a+b+c= 1, a^2+b^2+ c^2 = 1, abc=k, a, b, c為實數
2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2) =0
製作一方程式以 a, b, c為三根 => g(x)=x^3-x^2-k=0
g(x)=0有三實根, g(x)之極小值 <= 0, 極大值>=0 , 則g(2/3)<=0, g(0)>=0, 即
g(2/3)=-4/27-k <=0, 且 g(0)= -k >=0 ,
故 -4/27 <= k <= 0 -----(A)
g(a)=0 => a^3 - a^2 -k = 0 => a^4 = a^3 +ka
a^4+b^4+c^4= a^3+b^3+c^3 + k(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc + k(a+b+c)
=1*(1-0)+3k+k
= 4k+1
又由(A) -4/27 <= k <= 0, 則 a^4+b^4+c^4 = 4k+1 介於 11/27 與 1之間
即 a^4 + b^4 + c^4最小值= 11/27, 最大值= 1
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請參觀yahoo遊藝數學
http://tw.group.knowledge.yahoo.com/math-etm
不虛此行喔!
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