※ 引述《aquaisaqua (aqua)》之銘言：
: Let f_n be integrable on [0,1] and f_n → f uniformly on [0,1].
: show that if b_n ↑ 1 as n→∞.then
: b_n 1
: lim ∫ f_n(x)dx = ∫ f(x)dx
: n→∞ 0 0
: 感謝 ^^~
試做看看 , 有錯莫怪
因為 f_n → f uniformly on [0,1] 且 每一 fn 都是 bounded
所以 {fn} is uniformly bounded on [0,1].設 |fn(x)|≦M
給一 ε > 0 , 取正整數 N 使得 |fn(x)-f(x)| < ε/2 , x 屬於 [0,1]
M*(1-bn) < ε/2 當 n ≧ N .
因為 f 在 [0,1] 是 integrable ,
bn 1 1 1
| ∫ fn(x)dx - ∫ f(x) dx | = | ∫ [fn(x)-f(x)]dx - ∫ fn(x) dx |
0 0 0 bn
1 1
≦ ∫ |fn(x)-f(x)|dx + ∫ |fn(x)|dx
0 bn
≦ ε/2 + ε/2 = ε 當 n ≧ N
有錯請指教
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.117.24