[分析] 一個有趣的問題

[tiwsjia (佳佳)]

令 C([0,1]) = 所有定義在 [0,1] 上之連續函數所形成的集合，
              並搭配 sup norm ||‧||。

定義一個對應 h： C([0,1]) ---> |R

規定：如果 || f - g || = 1，則 h(f) ≠ h(g)

問題：請問 h( C([0,1]) ) 是否為有限集合？

感謝回答！

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感謝 dorminia 和 LimSinE 的熱心回答！

我 po 完文吃完飯後才想到，其實我想問的問題是：

是否存在一個滿足規定的 h，使 h( C([0,1]) ) 為有限集合？

問題動機：

在 |R^2 上點著色，規定兩點距離為 1 時要著不同色，則最少要著多少種顏色？

則作個邊長小於 1 的正六邊形鋪滿 |R^2，就能知道最少顏色數 < 8。

有個朋友問我能否將此問題推廣到有 norm 的函數空間。

佳佳

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.86.216.163
推 dorminia    :考慮exp(-ax), 可知h(C[0,1])至少跟R一樣大
→ tiwsjia     :能否麻煩再多解釋一些，感謝！
推 LimSinE     :考慮在[2^-(n+1), 2^-n] 上的小凸起函數
推 LimSinE     :可是，真的有這種h嗎？
→ LimSinE     :喔，有...C([0,1])的cardinality 和R一樣
※ 編輯: tiwsjia         來自: 219.86.216.163       (01/02 20:37)
推 LimSinE     :不存在，小凸起函數有無限個，兩兩距離都是1
→ tiwsjia     :好。十分感謝！