[分析] 關於微積分基本定理

[cacud (永遠的吉他手)]

                                      x
若 f 是遞增的，則 f 是可積的，F(x) = S f(t)dt on [a,b]
                                      a

在 f 是遞增，但沒有具備連續性之下，我想請問說 F 應該有可能在某些點不可微嗎？

(也就是不可以使用微積分基本定理，當然因為前提條件就不足了)

不曉得有人能幫我想個例子嗎？ ^^"

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◆ From: 125.224.40.61
推 jacob0425:F一定可微  但是在f不連續的點的微分值就不會等於f的值
→ cacud:原來如此，謝謝你
→ jacob0425: 我說錯了= = 應該說F在f不連續的點不可微
→ cacud:XD
→ jacob0425:你想一個階梯函數 例如  f(x)= [x] 不大於x的最大整數
→ jacob0425:                   F在f不連續的點不一定可微
→ jacob0425:舉一個在f不連續點可微的例子
→ jacob0425:f(x)=0 x不等於1  f(1) =1  這樣F(x)=0 每一點都可微
→ jacob0425:可是在1那點的微分值不等於  f(1)
推 math1209:你的遞增幾乎毫無意義 =.=
→ cacud:用在可積
推 math1209:可積函數 f, 未必是單調函數。你所問的問題，與單調幾乎
→ math1209:沒關係，充其量你只是為了可積性來做安排的.
→ math1209:因此我才會說，你的遞增幾乎毫無意義 =.=
→ cacud:我再寫習題遇到要証 if f is increasing, then F is convex
→ cacud:這題可以比較面積來證明，但應該不能套為積分基本定理F'= f
→ cacud:於是我才希望在相同條件下，找個反例來釐清自己觀念^^"
推 math1209:那你只要記住：積分會把函數性質強化就行了
→ math1209:比方說：對一個(黎曼)可積函數 , 其不定積分必連續
→ math1209:此外，若此黎曼可積函數在點 c 連續，則其反導函數 F 在
→ math1209:c 這點不僅連續而且還可微. 也就是說積分算子一般來說會
→ math1209:強化一個層次. (但也有可能跳躍強化兩個層次的)
→ math1209:但總而言之，積分算子至少強化一個層次．
→ cacud:嗯，謝謝你。