推 G41271:我想看證Σ (1/k^2)的方法 03/15 14:13
→ mathmanliu:Good! 03/15 14:23
推 hanabiz:謝謝 03/15 14:50
※ 引述《hanabiz (叛逆之臣也)》之銘言：
: m 2 pi*k m(2m-1)
: Show that sigma cot -------- ＝ ---------
: k=1 2m+1 3
: thx
請容許我把題目中m改成n我會比較習慣^^"
設θ，選定θ為 π/(2n+1),2π/(2n+1),3π/(2n+1),.....,nπ/(2n+1)
2n+1
考慮 [cosθ+isinθ] = 1 or -1
用二項式定理將之展開
2n+1 2n+1 2n+1 2n 2n+1 2n-1 2
[cosθ+isinθ] = (cosθ) +iC (cosθ) sinθ-C (cosθ) sinθ
1 2
2n+1 2n-2 3
-iC (cosθ) sinθ+.......
3
考慮虛部=0
2n+1 2n 2n+1 2n-2 3 2n+1 2n-4 5
C (cosθ) sinθ-C (cosθ) sinθ+C (cosθ) sinθ-...=0
1 3 5
2n+1
將全式除以 sin θ 得
2n+1 2n 2n+1 2n-2 2n+1 2n-4
C cotθ -C (cotθ) +C (cotθ) -.....=0
1 3 5
2
所對應方程式為以cotθ為解,θ=π/(2n+1),2π/(2n+1),3π/(2n+1),.....,nπ/(2n+1)
2n+1 n 2n+1 n-1 2n+1 n-2
C x -C x +C x -.....=0
1 3 5
考慮根與係數的關係
2n+1
C
n 2 kπ 3 n(2n-1)
sigma cot -------- ＝ ------ = ---------
k=1 2n+1 2n+1 3
C
1
C是指 combination
恩 第一次在這裡po文 如果太亂希望原po 板友包容
這題應該有更直接的作法
∞
只是想到 這是證 Σ (1/k^2)某個方法的一部分
k=1
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