※ 引述《Wittgenstein (Wittgenstein)》之銘言：
: http://ppt.cc/V6EC
: 請問(a)==>(b)
: (a)==>(c)
: 要怎麼證明?
: 我知道大概要用到
: (X,d1)(Y,d2) metric space
: 若有一函數f :X--->Y
: f若是continuous 則Y中的open set送回到X也是open.
: 另外有用到中間值定理嗎
: 謝謝!
(a)===>(b):
-1
Since f is continuous ,f ((λ,∞)) is open
i.e {x|f(x)>λ} is open
Similarly,{x|f(x)<λ} is open
(a)===>(c):
-1
Since f is continuous ,f ([λ,∞)) is closed
i.e {x|f(x)≧λ} is closed
Similarly,{x|f(x)≦λ} is closed
補充一下:
由於closed set 的complement 是 open 反之亦然
所以(b)<==>(c)
另外 當(b) (c) 都成立時
參考 MEASURE AND INTEGRAL 這本書(作者:Wheeden 和 Zygmund )
當中的THM(4.14) 和COR(4.15) 可知(a)成立
因此(a) (b) (c) 等價就證完了
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