Apostol習題1.16這一題要把習題1.15當成定理來應用
所有在請習題1.16之前，我先把習題1.15敘述一遍
習題1.15告訴我們：Given a real number x and a povistive integer N.
Then there are integers h and k, with 0 < k ≦ N, such that
|kx-h| < 1/N
習題1.16：If x is irrational prove that there are infinitely many
numbers h/k with k>0 such that |x-h/k| < 1/k^2.
題目有給 Hint: Assume there are only a finite number h_1/k_1,…,h_r/k_r
and obtain a contradiction by applying Ex1.15 with N > 1/δ
where δ is the smallest of the numbers |x-h_i/k_i|
我的問題是卡在Hint…，根據Ex1.15告訴我們，N決定h和k，但hint卻叫我們再用h
和k來決定N. 尤於一直覺得很怪所以我就偷看了一下解答…(好孩子不要學)
解答是： 前面略… , 1/N < δ ≦ |x-(h_i/k_i)| < 1/(k_i*N)
1/N < 1/(k_i*N) ---><---
但是還是沒有解決我的困惑…Ex1.15明明告訴我們是用N來決定h和k，但hint卻告訴
我們再用h和k來決定N，這不是類似循環論證嗎…這種推論怎麼能夠成立？？
或是我理解錯誤，思考上有盲點，請眾強者版友們為我解惑一下，感激不盡…
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