※ 引述《Phillse (@__@)》之銘言：
: 1.Let P_1 and P_2 be partitions of ﹝a,b﹞.Show that if P_1 is a refinement
: of P_2 then || P_1 || < = || P_2 ||
若P_2={a=x_0<x_1<...<x_n=b}，則||P_2||= max(x_k-x_(k-1))= maxΔ(x_k)。
k=1,...,n k=1,...,n
P_1是P_2的refinement，所以P_2包含在P_1裡面，也就是P_1的點比P_2還多。
假設對於某一個K，||P_2||=Δ(x_K)。則Δ(x_k)≦Δ(x_K)對於所有的k=1,...,n。
假設區間(x_(K-1),x_K)裡面不存有僅存在P_1的點，則||P_1||=||P_2||。
假設區間(x_(K-1),x_K)裡面存有至少一個僅存在P_1的點，則||P_1||<||P_2||。
: 2.A function f:﹝a,b﹞→ R is Lipschitz if there is some K >= 0 such that
: for any x,y in ﹝a,b﹞, |f(x)-f(y)| < = K|x-y|.
: Q: If P is a partition of ﹝a,b﹞, show that
: 0 < = U(f,p)-L(f,P) < = K(b-a)|| P ||.
令P={a=x_0<x_1<...<x_n=b}，則
U(f,P)=Σf(x_k*)[x_k-x_(k-1)] ,f(x_k*)=supf([x_(k-1),x_k])
L(f,P)=Σf(x_k**)[x_k-x_(k-1)],f(x_k**)=inff([x_(k-1),x_k])
因為f是Lip，所以是連續函數，上面這件事情作得到 [根據Extreme Value Thm]
所以0≦U(f,P)-L(f,P)=Σ[f(x_k*)-f(x_k**)][x_k-x_(k-1)]
=Σ|f(x_k*)-f(x_k**)|[x_k-x_(k-1)]
=ΣK|x_k*-x_k**|[x_k-x_(k-1)]
≦KΣ[x_k-x_(k-1)][x_k-x_(k-1)]
≦KΣ||P||[x_k-x_(k-1)]
=K||P||(b-a)
: 3.Let the function f:﹝a,b﹞→ R be monotonically decreasing and let P_n be
: the nth regular partition.
: Q: Show that U(f,p)-L(f,P)= 1/n ﹝f(a)-f(b)﹞﹝b-a﹞
用類似第2題的方法作
雖然f不保證是連續，但是可以確定supf([x_(k-1),x_k])=f(x_(k-1))，
inff([x_(k-1),x_k])=f(x_k)。
: 希望各位給一些提示或幫我解答 謝謝
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律:知道嗎?聽說我們的歌被海外的電視台所錄用耶!看來我們離武道館不遠了
唯:真的嗎?那真的是太好了，我一直夢想能在武道館彈著吉太，好高興
釉:小唯能高興真的是太好了，呵呵~
澪:拜託!那個明明是盜用不是錄用，你們怎麼還這麼高興?
律、唯、釉:啊?什麼? 輕音部
澪:絕望啦!我對盜用錄用分不清楚的輕音部社員們絕望啦! 邁向武道館之路
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