※ 引述《clouddeep (fix point)》之銘言：
: 1.Let f:(-1,2)→R be a real analytic function.
: If f(1/k)=0 for all natural k, show that f is identically zero.
: 2.Let f be a nonnegative real-valued function defined on [0,1].
: Suppose that there is an universal constant M>0 such that
: f(x_1)+....+f(x_n)≦M for every finite subset {x_1,...,x_n} of [0,1].
: Show that the set S={x|f(x)=/=0} is countable.
(1) 因為這是解析函數 f, 所以 f 可以寫成 Power series 的樣子，又 1/k → 0.
則根據冪級數係數唯一性定理可知： f 恆為 0.
請參見：Rudin, 高微, Ch8 的樣子. 或者隨意一本複變書籍都有。
∞
(2) 考慮 S_n ＝ {x: f(x)≧1/n}. 易得 S_n 為有限，又 S ＝ ∪ S_n.
n=1
所以 S 為可數。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.116.231.200