→ Sfly :第三步似乎迂迴了點.. 09/07 10:49
→ testishard :那S大能提供什麼更簡潔明瞭的證明嗎~(無惡意) 09/07 23:31
定理的敘述是
Every nonempty open set S in R^1 is the "union" of a "countable" collection
of "disjoint" component intervals of S.
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就我的理解Apostol給的證明分三個步驟，第一步是先證明union，這部分我沒有
什麼問題。第二步是證明disjoint，這邊我主要的疑惑是，根據component interval
的定義，不是本來就會disjoint嗎？為什麼還要證明，而且在上個定理Theorem3.10中
也證過任何S中的元素都"只"屬於S的其中一個component interval。這不就是disjoint
了嗎？為何還要特地再證明啊？？
我最大最大的疑惑是在第三步，也就是證明countable這裡。為了說清楚我的疑問
我把證明的原文打一次
Let {x_1, x_2, x_3,..} denote the countable set of rational numbers.
In each component interval I_x there will be infinitely many x_n, but
among these there will be exactly one with smallest index n. We then
define a functiion F by means of the equation F(I_x) = n, if x_n is
the rational number in I_x with smallest index n. This function F is
one-to-one since F(I_x) = F(I_y) = n implies that I_x and I_y have x_n
in common and this implies I_x = I_y........
我的理解是{x_1, x_2, x_3,..}應該是所有有理數的集合，不然無法保證所有
S的component interval I_x 都有無限多的x_n。而且{x_1, x_2, x_3,..}裡的
有理數應該是由小排到大，否則後面的函數F的定義就會出問題。現在我的第一個
問題來了，若{x_1, x_2, x_3,..}是所有有理數由小排到大的集合，那x_1就一定
是最小的有理數(？？？)這怎麼可能，哪有最小的有理數這種東西，那不是負的無
限大嗎？
第二個疑惑是function F的定法，照書上寫的，x_n會是在I_x裡的最小有理數
而且x_n屬於I_x，但是這又怎麼可能，假設I_x = (1,3)，在I_x裡並不存在最
小的有理數啊？(1並不屬於I_x)，若x_n不屬於I_x的話，後面F是one-to-one
的推論就會出問題啊？
看了很久想了一個晚上都沒想出為什麼，不知是我哪裡理解錯誤了(Apotol不太
可能犯如此明顯的錯誤)，版友們可不可以為我解惑一下，感激不盡…謝謝
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