[分析] 一題高微

[tommy512 (湯米)]

A在R^n中 open又closed ,證明A為空集合或R^n

我只會證明R^1的 跟 connected metric space的

請問R^n的要怎麼證明阿 謝謝

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◆ From: 114.24.57.194
推 plover      :R^n不是connected喔 @@"
※ 編輯: tommy512        來自: 114.24.57.194        (12/01 20:38)
※ 編輯: tommy512        來自: 114.24.57.194        (12/01 20:38)
→ tommy512    :請問要怎麼做阿
→ ert0700     :取bd(A)裡的點 跑定義試試看
→ k6416337    :先假設A非空 然後證明A=|R^n
→ math1209    :一樓說的沒錯, 與 |R^n 為路徑連通有關.
→ math1209    :我不確定原 PO 一維時是怎麼作的, 但這就是利用線去
→ math1209    :聯繫之. 不妨想 |R^2: 假設 A 不是空集, 也不是|R^2.
→ math1209    :則 A^c 也不是空集且也非|R^2.
→ math1209    :取兩點 a, b 分分別落在 A 與 A^c 上.
→ math1209    :用線段將 a,b 連起來. 考慮此線之中點 c.
→ math1209    :c 不是落在 A 就一定落在 A^c.
→ math1209    :假設落在 A, 則考慮 c, b 線段之中點 d.
→ math1209    :依此類推則可得 a_n 落 於 A 且 b_n 落於 A^c.
→ math1209    :注意:我們是允許 a_n (或 b_n) 重複. 例：上述的
→ math1209    :b_1 = b_2 = b.
→ math1209    :最終得到 {a_n} 與 {b_n} 會收斂到同一點.
→ math1209    :(這個作法事實上就是 Bolzano-Weiestrass Theorem)
→ math1209    :由於 A 同時開且閉, 故 A^c 也同時開且閉.
→ math1209    :得一矛盾.
→ math1209    :上述這件事事實上就是 (橢圓偏微分方程) MVP 重要的
→ math1209    :lemma.
→ math1209    :最後附加一句話, 上述的作法對 |R^n (n≧1)都成立.
→ tommy512    :哇 感謝
→ k6416337    :樓上其實可以回一篇
推 smarter1004 :呃!!!! 會做connected space的 那R^n不就會了嗎...