推 woshui :導的很棒 但很不幸我沒學過(1)(3)的方法￣▽￣|| 12/04 23:28
推 Lindemann :這種文得推的啦,math1209大大真的超強 12/06 00:29
※ 引述《woshui (我是灰)》之銘言：
: 懇求證明過程，謝謝
: Σ[(cos2πnu)/n^2]=π^2(u^2-u+1/6) ,for n=1 to ∞ ; 0≦u≦1
這方法很多…(為了方便起見，命 2πu ＝ x)
而你只要知道下面這件事:
∞ sin nx 1
Σ ------ ＝ --- (π － x), 0＜x＜2π.
n＝1 n 2
再積分即可。至於要怎麼得到上面的恆等式? 我們可以採取的方法有:
(1) 微積分-華羅庚 數學分析導引 (下), p.p. 60-61.
[這涉及到 Riemann-Lebesgue lemma.]
(2) 直接算 (π－x)/2 的 Fourier Series. [但我想你一定不想要這個！太奇妙…]
(3) 利用 Abel 提起的方法也行 [與 Poisson Kernel 有關]。
∞
Proof. 考慮 Σ (cos nθ ＋ isin nθ) r^(n-1), (|r|＜1)
n＝1
cos θ sin θ
＝ --------------------- ＋ i ----------------------
1 － 2rcosθ ＋ r^2 1 － 2rcosθ ＋ r^2
積分後得 ∞ 1
Σ --- (cos nθ ＋ isin nθ) r^n
n＝1 n
1 r sin θ
＝ － --- log ( 1 － 2rcosθ ＋ r^2) ＋ i arctan -------------.
2 1 － rcosθ
利用 Abel 極限定理:可將 r ＝ 1 代進去…
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