※ 引述《tommy512 (湯米)》之銘言：
: 1. f(x,y)=(x^2+y)^(1/2) 在下列區域是否均勻連續
: (a)D={ (x,y)| x大於等於0,y大於等於0}
: (b)D={ (x,y)| x^2+y 大於等於0}
: 2 Let xy(x^2-y^2)
: ------------- (x,y)≠(0,0)
: ╭ x^2+y^2
: f(x) = │
: ╰ 0 (x,y)＝(0,0)
: 請問要怎麼看是否在(0,0)連續
: 是否在(0,0)可微分阿
1.
(a) 請將區域 D 分割成 2 部分: (A) R ＝ {(x,y): 0≦x,y≦1} (B) D\R. 欲證 f 於 D
上為均勻連續，僅需證明 f 於 D\R 上為均勻連續。留心到: |▽f(x,y)|≦2 on D\R.
故由(多變數函數之)均值定理可知：f 於 D\R 上為均勻連續。
(b) 假設 f 於此區域 D 為均勻連續函數，則根據定義: 給予誤差 ε＝1, 存在一正數δ,
使得當 |(x,y)－(x',y')|＜δ, 我們有
|f(x,y)－f(x',y')| ＜ 1. （＊）
選取 (x',y') 滿足 (x')^2 ＋ y' ＝ 0, 且 (x,y) ＝ (x' ＋ δ/2, y'), 則
|(x,y)－(x',y')| ＝ δ/2 ＜δ. 計算
|f(x,y)－f(x',y')| ＝ |x'‧δ ＋ (δ/2)^2|.
當 |x'| 夠大時，將導致上式不可能小於 1. 此與（＊）矛盾。因此，f 於此區域 D
不為均勻連續函數。
NOTE. 請考慮兩小題之區域…畫其幾何。
2. 這題是名題了…兩者答案皆是。
(連續性) 考慮極座標，易知其連續性: 因分母只有 r^2, 而分子有 r^4.
(可微性) 考慮定義即可…(為了確保定義中的誤差項的確是 o(|(x,y)|), 此時又可以利
用極座標給予我們協助，分母現在只有 r^3, 而分子有 r^4.)
細節我不補上了，你自己練習看看…
[這題主要說明了一件事：D_1,2 f(0,0) ＝ 1 ≠ D_2,1 f(0,0)＝ -1.]
請參考下列兩本書：
Apostol, T. M., Mathematical Analysis, 2nd ed. Addison-Wesley, 1975. pp. 358-
359.
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. McGraw-Hill, 1976.
Exercises 27, Chap. 9, p. 242.
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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※ 編輯: math1209 來自: 220.133.4.14 (01/12 18:12)