各為前輩好
我想問一個在書中看到的證明
感覺自己的邏輯一直不通
有一系列的問題
懇請前輩花一些時間指導一下
希望回文能夠詳盡一些
感謝
書本要證明一個定理
Theorem;
If f is a continuous function on a closed bounded set D in En then it
is bounded on D.
Proof:
If f is unbounded on D, there is an integer i and an element a_i, of D
such that
│f(a_i)│>i
Using Theorem(實函數在b點連續且f(b)>0或<0,則存在以b點為中心的球所含的a
均滿足f(a)>0或<0), we can assume {a_i} converges to a. a point in D, since D is
closed.
Then since f is continuous on D we have that
│f(a_i)│<│f(a)│+ε
which contradicts the requirement │f(a_i)│>i. Hence f(a) is bounded on D.
首先它是用反證法，所以假設函數在D上是unbounded，但是我不懂接下來為何存在一個整
數i及a_i滿足│f(a_i)│>i？
我想unbounded是至少有一個點無限大但是為什麼我們可以隨便指出f(a_i)和i的關係?
而且無限大不是應該是給定任何一個N，必可找到一個a_i使得f(a_i)>N嗎?
│f(a_i)│>i感覺好像只是一個特例，是不是題目就是要找出unbounded假設下的一個特例
，然後再推翻它，證得原命題？
再來就是│f(a_i)│<│f(a)│+ε的問題，也說假設數列{a_i}收斂到a，而且前面已經講
過存在「一個」i及a_i，但怎知│f(a_i)│就一定要跟│f(a)│很接近，這個a_i的i搞不
好很小，才前幾項而已，而且a_i很可能差極限a很大。所以我不懂書本是故意假設a_i和a
離得很近，所以f(a_i)和f(a)差距很小的意思嗎？連續性定義應該不會讓ε太大吧，否則
距離稍遠處也可能有斷點之類，但不能夠因此說在f在a點處不連續阿
再來│f(a_i)│為什麼一定要比│f(a)│大？
另外有一個額外的疑問
會收斂的數列是不是必可以用函數表達出來,或者是給出限制?否則亂七八糟沒有任何限制
條件的數列,應該幾乎都不會收斂吧?
那我們證明過程中故意搞出一個會收斂的數列，這樣不會有只是特例的問題嗎？
很多問題一次問出來
希望前輩能夠不厭其煩一個一個幫我解答
感謝回答
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