Re: [分析] 請教幾題拉普拉斯轉換 及微分方程

[ytyty (該換個版潛水了™ )]

※ 引述《lau245021 (月詩)》之銘言：
: 另外再問一題= =":
: y"+4y=f(x)              sint, 0≦t≦π/2
:                  f(x)={                           y(0)=1,y'(0)=2
:                          0     t≧π/2
: 答案是...e^-2t - e^-3t                                      0<t<1
:          1/6+(1-1/2e^2)e^-2t - (1- 1/3e^3)e^-3t             1<t<2
:          1/6+(1- 1/2e^2+e^4)e^-2t - (1-1/3e^3 + e^6)e^-3t , t>2
: 一樣  我的答案.....很雜 怎麼整理 都沒辦法像答案= ="
答案有寫錯嗎？= ="
e的次方再怎麼微分也不可能有sint的出現~
而且t的範圍也變了~

y"+4y=sint[H(t)-H(t-π/2)]

                           1
[s^2*Y-sy(0)-y'(0)]+4Y= ───*e^(-0s)-￡[sin(t+π/2)]*e^[(-π/2)s]
                         s^2+1

                   1
 (s^2+4)Y-s-2 = ─── - ￡[cost]*e^[(-π/2)s]
                 s^2+1

                   1        s
  (s^2+4)Y= s+2+ ─── - ───*e^[(-π/2)s]
                 s^2+1    s^2+1

            s+2              1               -s
        Y= ────  + ─────── + ─────── *e^[(-π/2)s]
            s^2+4      (s^2+4)(s^2+1)   (s^2+4)(s^2+1)


         1           As+B       Cs+D
令 ─────── = ──── + ────
   (s^2+4)(s^2+1)    s^2+4      s^2+1

兩邊去分母得

      1 = (As+B)(s^2+1) + (Cs+D)(s^2+4)

        = As^3+As+Bs^2+B+Cs^3+4Cs+Ds^2+4D

        = (A+C)s^3+(B+D)s^2+(A+4C)s+(B+4D)

比較係數得


         A+C=0         A=0
         B+D=0  解得   B=-1/3
        A+4C=0         C=0
        B+4D=1         D=1/3



         -s           Es+F       Gs+H
令 ─────── = ──── + ────
   (s^2+4)(s^2+1)    s^2+4      s^2+1


兩邊去分母得

      -s= (Es+F)(s^2+1) + (Gs+H)(s^2+4)

        = Es^3+Es+Fs^2+F+Gs^3+4Gs+Hs^2+4H

        = (E+G)s^3+(F+H)s^2+(E+4G)s+(F+4H)

比較係數得


         E+G=0         E=1/3
         F+H=0  解得   F=0
        E+4G=-1        G=-1/3
        F+4H=0         H=0


所以
            s        2      -1/3     1/3     (1/3)s    (-1/3)s
    Y(s)= ─── + ─── + ─── ───  +[─── + ────] *e^[(-π/2)s]
          s^2+4    s^2+4    s^2+4   s^2+1    s^2+4      s^2+1

            s        5/3      1/3     (1/3)s    (-1/3)s
        = ─── + ─── + ───  +[─── + ────] *e^[(-π/2)s]
          s^2+4    s^2+4     s^2+1    s^2+4      s^2+1


             -1
    y(t) = ￡ [Y(s)] = [cos2t+(5/6)sin2t+(1/3)sint]H(t)

                     + [1/3cos2(t-π/2)-(1/3)cos(t-π/2)]H(t-π/2)

                     = [cos2t+(5/6)sin2t+(1/3)sint]H(t)

                     + [(-1/3)cos(2t)-(1/3)sint]H(t-π/2)




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◆ From: 163.17.44.77
推 PowerScan   :原題目的4y項似乎沒有微分.
→ ytyty       :阿~看太快了~謝謝p大~
※ 編輯: ytyty           來自: 59.114.242.24        (01/12 17:38)
※ 編輯: ytyty           來自: 59.114.242.24        (01/12 18:07)
※ 編輯: ytyty           來自: 59.114.242.24        (01/12 18:11)
→ lau245021   :感謝兩位這麼詳細幫我解答  謝謝^^~