推 math1209:Good Job! x = 0, 或 y = 0 要再考慮比較妥當:-) 05/08 04:18
→ chunchang:我漏掉了，謝謝 ^^ 05/08 04:27
※ 編輯: chunchang 來自: 128.101.10.146 (05/08 09:23)
→ wuxr:謝謝 05/08 11:09
※ 引述《wuxr (wuxr)》之銘言：
: f(x,y)=x^2+y^4-10xy^3-100x^2y^2-1000x^4y^2-10000x^6y^2
: 證明: 存在d>0 使得f(x,y)>0 for all 0<x^2+y^2<d^2
: 感謝各位先進
別把問題想得太難，這是中學生就可以作的問題。
讓我們來決定出一個d值吧！
主要工具是 inequality : 2ab≦ a^2+b^2
if x=0 or y=0 and (x,y)=/=(0,0), we have f(x,y)>0.
now we consider the case for x,y are not 0.
if x^2+y^2<d^2 for some d>0 , then
|10xy^3| < 10d|x|y^2
100x^2y^2 < 100d|x|y^2
1000x^4y^2 < 1000d^3|x|y^2
10000x^6y^2 < 10000d^5|x|y^2
hence, if x,y are not 0, we have
f(x,y) > x^2+y^4 - (110d+1000d^3+100000d^5)|x|y^2
> [1-1/2(110d+1000d^3+100000d^5)](x^2+y^4).
We only need 100000d^5+1000d^3+110d < 2.
Actually, we can choose d=1/110, i.e.
f(x,y)>0 if 0 < x^2+y^2 < (1/110)^2.
當然，用反證法及極限的觀念來作會更快！(就只要說樣的d的存在性而已)
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