※ 引述《hips (hips)》之銘言：
: ※ 引述《hips (hips)》之銘言：
: : f is complex measurable, u is a positive measure on X
: : such that u(X) = 1.
: : Assume |f|_∞ > 0.
: : Assume |f|_r < ∞ for some r > 0.
: : Prove that
: (1) lim |f|_p = exp(∫log|f|du)
: p->0
寫一下我目前算到的~
由於 u(X)=1, Jensen不等式 可以得到 ||f||p 遞減
顯然 ||f||p >=0 , 所以 lim ||f||p 存在~
且 可以考慮 子序列 pn = 1/n 就好
考慮 f(x) = x^(1/n)- (1/n)log x - 1 , x>0
利用一次微分 且 f(1)=0 我們知道
x^(1/n) >= (1/n)log x + 1 , x > 0
因此
|f|^(1/n) >= (1/n) log |f| + 1
兩邊同時積分, 取 n 次方 會得到
||f||_(1/n) >= ( (1/n) S log |f| du + 1)^n
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注意一下這是一個數
讓 n--> infinit 會得到 不等式的一邊~
還沒想到不等式的另外一邊
但是這種證明 等號的 常常利用這種技巧證明
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