※ 引述《math1209 (ww)》之銘言：
: ※ 引述《OSGrup (open將真的很可愛)》之銘言：
: : 3. Suppose a_k 屬於|R and |a_k|≦k for every positive integer k . Let
: : oo 1
: : f(x) = Σ (a_k)*x^k and f_n(x)= f(x + ---) .
: : k=1 n
: : Show that f_n converges uniformly to f on any [a,b]ㄈ(-1,1) .
: 直接用定義作，你首先要注意到的是，f(x) 的收斂半徑至少多少?
: 其餘交給你了。
觀念:無窮級數是否(均勻)收歛與前面有限項無關
For any [a, b] contained in (-1,1), |a|<1
設 c=(1-b)/2 > 0 即 b與1差距的一半
當 x in [a, b], n>1/c時 x+ 1/n < x+c<= (1+b)/2 < 1
(1+b)/2為 b與1之中點
則 |(x+ 1/n)^k | < min{ (1+b)/2, |a| }=p < 1
By M-test :
Σ|a(k)(x+1/n)^k| <= Σ kp^k 而 Σkp^k conv. indep. of x
(taking summation for k>1/c)
故f_n(x) uniformly conv. to f for x in [a, b] contained in (-1, 1)
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