※ 引述《JohnMash (John)》之銘言：
: ※ 引述《pigmow (朱毛)》之銘言：
: : 1
: : ∫ 1/〔(x^2 +1)(1-x^2)^1/2〕 dx
: : -1
: : 大概知道要轉成複平面上去做 可是中間會卡住
: : 有神人可以幫忙解一下詳解嗎 謝謝
: : 答案是 π/2^1/2
: x=cost
: dx= -sint dt
: (1-x^2)^(1/2)=sint
: (x^2+1)=cos^2t+1=(cos2t+1)/2+1=(cos2t+3)/2
: ∫2/(cos2t+3) dt=F(t) from 0 到 pi
:
以上借用JohnMAsh大大的式子
Let 2t=u
then ∫2/(cos2t+3) dt=∫du/(cosu+3) from 0 to 2pi
這個式子就是很標準留數定理的應用
Let z=e^(iu) dz=izdu cosu=(1/2)(z+1/z)
∫du/(cosu+3)=(i/2)∫dz/(6z+z^2+1) on unit circle
by residue thm
∫dz/(6z+z^2+1)=2(pi)iRes(1/6z+z^2+1 , -3+(8)^(1/2) )
=2(pi)i(32)^(-1/2)
Hence (i/2)∫dz/(6z+z^2+1)=(2/i)2(pi)i(32)^(-1/2)=pi/(2^1/2)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.230.75
※ 編輯: GaussQQ 來自: 140.114.230.75 (10/06 00:33)