Re: [分析] continuous function & compact set

[tiwsjia (佳佳)]

※ 引述《iamagine (A-gine)》之銘言：
: Theorem: Let n,m € |N .
: If H is compact in |R^n and f : H → |R^m is continous on H,
: then f(H) is compact in |R^m.
: 問題一：
: 如果改成...
: Let H is a subset of |R^n
: If K is compact in |R^m and f : H → |R^m is continous on H,
: then (f^-1)(H) is compact in |R^n ?
:        ↑ inverse image
: 這樣是不是就錯了?
: 麻煩大大跟我說個反例>""<

錯。

令 K = {0} 為單點所成的集合，且 f： |R^n --> {0}
則 (f^-1)({0}) = |R^n

: 問題二：
: Let the function f : |R^n → |R^n such that f(K) is compact
: whenever K is compact subset of |R^n.
: Must f be continuous?
: 麻煩大大們了>""<
: 謝謝大家~

錯。

令 f：|R^n --> |R^n 定義為 f(x) = 1 if x=/0 , f(x) = 0 if x = 0
則對於所有 |R^n 的子集 H，f(H) 為 compact。
但 f 不連續。


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 118.160.249.212
→ tiwsjia:問題一應該是問 (f^-1)(K)？
推 iamagine:囧...大大對不起>""< 打錯了，小的不才。
→ iamagine:我想問的的確是這個 (f^-1)(K) ，大大真的很謝謝你。