→ hips :lim|fm|r = exp(Slogfm),m->無窮,左邊極限可交換嗎? 09/08 22:58
→ yutzu903 :|fm| ---> |f|, by Fatou lemma . 積分 <= 09/08 23:36
※ 引述《hips (hips)》之銘言：
: ※ 引述《hips (hips)》之銘言：
: : f is complex measurable, u is a positive measure on X
: : such that u(X) = 1.
: : Assume |f|_∞ > 0.
: : Assume |f|_r < ∞ for some r > 0.
: : Prove that
: (1) lim |f|_p = exp(∫log|f|du)
: p->0
: 我寫一下目前算的結果:
: 令 A = {x | |f(x)| > 0}.
: 若u(A) < 1, 則 exp(∫log|f|) = exp(-∞) = 0, 且
: |f|_r ≦ u(A)^1/r*|f|_∞
: 所以|f|_r --> 0 as r --> 0.
: (1)式成立.
: (其實這裡有個問題,|f|_∞是否 < ∞, 不是的話怎麼辦?)
這題裡面, |f|_∞ 一定 < ∞, 否則 |f|_r < ∞ for some r > 0
就不會成立了!!
(這邊應該是考慮 ess sup, 反正 measure = 0 的不管就是)
: 若u(A) = 1,不失一般性可以假設A = X.
: 因為|f|_r遞減,計算時可以把index r換成整數n.
: 首先, f(x) = x-1 是 logx 在x = 1時的切線,
: 且x-1 ≧ logx.
恕刪~
沿用你的想法, 不過做一些調整, 你在檢查看看合不合理
因為 f(x) = x-1 是 logx 在x = 1時的切線
所以 fix a > 0 , 存在 b 使得 當 x 屬於 (1-b,1+b)
x-1-a <= logx
令 f_m = min {|f|, m} (表示取小的)
當 r 足夠小, |f_m|^r 屬於 (1-b,1+b)
我們就會得到
||f_m||_r <= ( r S log |f_m| + 1+a ) ^ (1/r)
因為 a 是任意正數 , 讓 a 跑到 0
再讓 m 跑到無窮大
就可以得到等號的另外一邊了~
Rudin還有一本 實複變, 跟 高微 有些題目相同, 或許hint是寫在另外一本
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.22.70