Re: [分析] 有關continuous&compact&connected

[math1209 (.......................)]

※ 引述《tryitredboy (dsd)》之銘言：
: 下面幾個小題想找幾個例子
: f is continuous
: f:R->R
:                         -1
: (1) k is compact , but f (k) is not compact
:                           -1
: (2) k is connected , but f (k) is not connected
: (3) U is open , but f(U) is not open
: (4) U is closed , but f(U) is not closed


(1) 利用 |x|, 造出一個週期為 2 的函數 (其長相為: ....△△△△△△△△.... .)
    取 K ＝ {0}, 則 f^(-1) (K) ＝ {2n：n 屬於整數} 非緊致 (Compact) 集合。

(2) 考慮 |x|:|R→|R, 且取 I ＝ [1/2,1], 則 f^(-1) (I) ＝ [-1,-1/2] ∪ [1/2,1]
    為非連通 (Connected) 集。

(3) 取常數函數 f(x) ＝ c 即可。 (U ＝ |R, f(U) ＝ {c}.)

(4) 取 f(x) ＝ arc tan x 即可。(U ＝ |R, f(U) ＝ (-π/2,π/2).)

NOTE. 我們找例子時，腦中最好有圖象…除非是難以想像的函數（像是處處連續且處處
      不可微）. 很幸運地，以上 4 個問題都是可以想像的出來的。

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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.

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◆ From: 220.133.4.14
推 tryitredboy :第3個 有常數函數以外的例子嗎??
→ THEJOY      :f(x)=sin(x) U=(-3pi,3pi),f(U)屬於[0,1] <<有嗎？
→ math1209    :(3) 考慮 |x|:|R→|R, 且取 U＝(-1,1), f(U)＝[0,1).
→ pokmon      :1.sin x, 2.x^2, 3.sin x, 4.e^x  這樣可以嗎?
→ math1209    :To pokmon, 你給的 (4) 為什麼可行??
→ pokmon      :u=(-∞,0], f(u)=(0, 1]is not closed
→ math1209    :ok. I see.
→ Copestone   :[1]常函數即可。