※ 引述《paggei (XD)》之銘言：
: 1.f:I->Ｒ在I中可微，證若f'在I中bounded，則f在I中uniform continuous.
: 2.f在[0,1]連續且在(0,1)可微，假設f(0)=0且對所有(0,1)中的x,│f'(x)│≦│f(x)│
: 則對所有[0,1]中的x，f(x) = 0
: 3.證lim f'(x) = 0, if f:(a,∞)->Ｒ 可微且lim f'(x)及lim f'(x)均存在
: x->∞ x->∞ x->∞
: 4.證 f"(c) f(b) - f(a) - (b-a)f'(a)
: ─── = ────────────── for some c in (a,b)
: g"(c) g(b) - g(a) - (b-a)g'(a)
: 若f', g'在[a,b]中連續且在(a,b)中可微
: 請各位給我一點如何開頭的提示...orz
: 拜託了
f(b) - f(a) - (b - a)f'(a)
4. 右式 = ----------------------------
g(b) - g(a) - (b - a)g'(a)
(b - a)(f'(t)) - (b - a)(f'(a))
= ---------------------------------
(b - a)(g'(t)) - (b - a)(g'(a))
(因為 f' , g' 在[a,b]中連續 , 所以 f , g 在[a,b]連續 、 在(a,b)可微)
(由 MVT , 存在 t 屬於 (a,b) 使得 f(b) - f(a) = (b - a)(f'(t))
g(b) - g(a) = (b - a)(g'(t)) )
(b - a)(f'(t) - f'(a))
= ------------------------
(b - a)(g'(t) - g'(a))
f'(t) - f'(a)
= ---------------
g'(t) - g'(a)
(t - a)(f"(c))
= ----------------
(t - a)(g"(c))
(因為 f' , g' 在[a,b]中連續 , 在(a,b)中可微 ,
所以 f' , g' 在[a,t]中連續 , 在(a,t)中可微 , a < t < b)
(由MVT, 存在 c 屬於 (a,t) 包含於 (a,b) , 使得
f'(t) - f'(a) = (t - a)(f"(c))
g'(t) - g'(a) = (t - a)(g"(c)) )
f"(c)
= ------- = 左式
g"(c)
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