推 zombiea :了得 08/29 01:00
※ 引述《Johnniekaka (卡卡的..)》之銘言：
: Let f be a function defined on [0, 1]with the following property:
For every real number y,
either there is no x in [0, 1] for which f(x)=y
or there are exactly two values of x in [0, 1] for which f(x)= y.
這個條件稱為(*)
: Prove that any function with this property has infinite many
: discontinuities on [0, 1].
: 希望可以給予指點，謝謝^^
Lemma:
若g：(a,b)→R 連續，且 | g^-1({y})| <= 2
則 g至多有一個極大值(同樣的，至多有一個極小值)
Proof:
設 g 在 z 取極大值，注意到 |g^-1({g(z)})|<=2 必為孤立
則存在 x1<z<x2, 使得對所有x1<=x<=x2,x=/=z, g(x) < g(z)
固定 max{g(x1),g(x2)}<c<g(z)，由中間值定理
g(x)=c 在 (x1,z)，(z,x2)間各有一解。故 g(x)=c 在(x1,x2) 之外沒有解。
Claim: 不存在y=/=z 使得 g(y)>=g(z)
反證法，設y=/=z，g(y)>=g(z)，顯然 y 在(x1,x2)外
可設 y<x1 (y>x2類似)，則因 g(x1)<c<g(z) <= g(y)
由中間值定理，知在 (y,x1)上 g(x)=c 又有一解，矛盾。
於是乎，假設g在z=/=z'都是極大值，
則無論 g(z) > g(z')、g(z)<g(z')、g(z)=g(z') 都造成矛盾
原題：
設U = f的連續點\{0,1} = 有限開區間之聯
由Lemma，f|U (限制在U上) 只有有限個極值點
定義 A = {x|x=0,1 或 x 為不連續點 或 x為極值點}、B = f^-1(f(A))
則A,B有限，2||B|，設 V = [0,1]\B = 奇數個開區間Ij,j=1,...,N之聯
顯然 f|V 滿足(*)，f|I (I=Ij) 為嚴格單調的連續函數(sup, inf都不能被取到)
Claim: 若s 屬於I，s' 屬於 I'，f(s) = f(s') 則f(I) = f(I')
(Note: 故給一I，必可找到I')
只要證 sup f(I) = sup f(I'), inf f(I) = inf f(I')
反證法，設sup f(I) > sup f(I') = z > f(s)=f(s')，
則由中間值定理，存在 t 屬於I使得 f(t) = z，又可找另一t'使得f(t') = z
設t' 屬於I'' =/= I'，因為 (f(s),z) < f(I) 交集 f(I')，故(f(s),z)交集f(I'')為空
即 z = min f(I'')，但這是不可能的。
其餘類似。
現在f|V 滿足(*)，取I1 和I1'，則 f|(V\I1\I1') 滿足(*)
如此下去，每次拿走一對區間，f在其上仍滿足(*)
但是區間數是奇數。最後會剩下一個開區間滿足(*)，不可能。
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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※ 編輯: LimSinE 來自: 219.68.24.150 (08/29 00:52)