Re: [分析] 複數線積分路徑問題 ( 1/(1+t^2)的傅利 …

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《l68n3 (l68n3)》之銘言：
: 若h(t) = 1/(1+t^2)
: 在作其傅利業轉換
:          ∞
: H(w) = ∫  [1/(1+t^2)]exp(-jwt)dt
:         -∞
: 時，會用到複數的封閉路線線積分方法，
: 解題過程會因應w大於0或小於0的不同，
: 而選擇不同的積分路徑，
: 而我的問題就來了，
: 為什麼
: 當w>0 ==>積分路徑為下半平面；
: 當w<0 ==>積分上半平面
: 煩請版友解惑，謝謝。

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    考慮定積分     e^(-jwz)               e^w
               ∮  ──── dz  = 2πi* ────
                c  1 + z^2                2*i


    其中  c1:   straight line from  z=-R  to  z=R
          c2:   upper circle  |z|=R  from  z=R  to z=-R
           c:   closed contour  c1+c2


    重點在第二個積分路徑 c2 :

          e^(-jwz)        π   e^[-jwR(cosθ+jsinθ)]      jθ
    ∫    ──── dz =  ∫   ────────────  jRe    dθ
     c2   1 + z^2         0      1 + (R^2)e^(j2θ)


                  e^(-jwz)           π    e^[wR(sinθ)]
    所以  ｜∫    ──── dz｜ ≦  ∫   ────────  R dθ
             c2   1 + z^2            0       R^2 - 1


    若想用  M-L Inequality 讓這項積分趨近於 0  if R→∞

    則  w 勢必要限制在 w<0 才行

　　否則會因為  e^[wR(sinθ)]  這個項而發散掉


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
推 Lindemann   :推^^
推 l68n3       :謝謝，不過可以再說更清楚一點嗎？解答過程是分w大於
→ l68n3       :0或小於0來解，各自選擇下半和上半平面的c2半圓路徑
→ l68n3       :出來的答案H(w)=πexp(-|w|)。
→ l68n3       :還有，想問您的解釋中，不等式右邊是怎麼化過來的？

                 e^(-jwz)
             ∮  ──── dz  = 2πj* Res{ f(z), j}
              c  1 + z^2
                                      e^(-jw*j)
                              = 2πj* ────
                                        2*j

                              = π*e^w


      這裡的 c 是一個封閉的積分路徑
　　　先逆時針繞過 |z|=R 上半圓 (c2)
　　　再經由負實數軸跑回正實數軸 (c1)
      所以 c 只有包住一個 single pole z=j


      接著就可以寫出以下式子:


           e^(-jwz)             e^(-jwz)            e^(-jwz)
      ∫   ──── dz  +  ∫   ──── dz  =  ∮  ──── dz
       c1  1 + z^2          c2  1 + z^2          c  1 + z^2

        R   e^(-jwx)             e^(-jwz)
  →  ∫    ──── dx  +  ∫   ──── dz  =  π*e^w    ____(1)
       -R   1 + x^2          c2  1 + z^2



　　積分路徑 = c2 的那個積分
　　計算上非常困難

　　但很幸運的
　　當 R→∞ , 那個積分會趨近於 0

    所以 (1) 式可被改寫成:

         ∞   e^(-jwx)
    →  ∫    ──── dx  =  π*e^w
         -∞  1 + x^2



   不過有個問題，我們怎麼知道:

                 e^(-jwz)
       lim  ∫   ──── dz  = 0
      R→∞  c2  1 + z^2


   這時就是發揮  M-L Inequality  的功用了 ︿︿

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   我前面 po 的那個不等式

　 是利用:
             b                b
          ｜∫ f(x) dx｜ ≦  ∫ ｜f(x)｜ dx      if a<b
          　 a                a

           這裡的  f(x) 是 complex function

           ( 証明可至  #1BHWxxsb (Grad-ProbAsk)  )



   証到後面，就會發現只有當 w<0

   c2 的那項積分才會趨近於 0


    因此就會得到以下結論:

        ∞   e^(-jwx)
       ∫    ──── dx  =  π*e^w    if  w<0    ____(2)
        -∞  1 + x^2


    接著把積分區間改成下半圓

　　仿造上述流程

　　也能得到:

        ∞   e^(-jwx)
       ∫    ──── dx  =  π*e^(-w)    if  w>0    ____(3)
        -∞  1 + x^2


    合併 (2)(3) 式，就是您想要的答案了

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    ps:

           e^(-jwz)           π   e^[-jwR(cosθ+jsinθ)]      jθ
   ｜∫    ──── dz｜ = ｜∫   ────────────  jRe    dθ｜
      c2   1 + z^2            0      1 + (R^2)e^(j2θ)


                             π    e^[-jwR(cosθ+jsinθ)]     jθ
                         ≦ ∫  ｜ ───────────  jRe   ｜ dθ
                             0      1 + (R^2)e^(j2θ)

                            π      e^[wR(sinθ)]
                         = ∫   ───────────    R dθ
                            0   ｜ 1 + (R^2)e^(j2θ)｜

                             π   e^[wR(sinθ)]
                         ≦ ∫   ───────  R dθ
                             0   ｜ (R^2) - 1｜

                             π   e^[wR(kθ)]
                         ≦ ∫   ───────  R dθ   for some k屬於R>0
                             0   ｜ (R^2) - 1｜

                             e^(wRkπ) - 1
                          =  ───────
                              wk(R^2 - 1)

    所以當  R→∞  , 那項定積分 的"絕對值" 會趨近於 0   if  w<0
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.141.151      (01/08 18:37)
推 l68n3       :非常感謝，不過看來要判斷積上半圓還是下半圓，判斷
→ l68n3       :上似乎不是很簡便。以前唸書時不知道怎麼快速判斷的