推 Potervens: 03/27 15:31
: show that 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ......... = log2
: → ert0700:marsden 高微那本在第五章內有講 03/25 20:35
: → hanabiz:我只有Apostol@@ 可以麻煩你PO一下嗎？ 感謝 03/25 20:37
: 推 math1209:那 apostol, ch9 就有了, ch8 習題也有. 03/25 21:28
: → hanabiz:!! 謝謝樓上 03/25 21:46
: → chungweitw:泰勒展開 log(1+x). 之後以 x=1 代入 03/26 04:15
: 推 keith291:樓上那個不行吧 x=1是收斂半徑的邊界值無法得知是否成立 03/26 20:15
: → chungweitw:我的想法是 |x|<1 成立, |x|=1 未知. 但是 x=1 代入 03/26 20:55
: → chungweitw:發現收斂, 故成立 ( 幸運 ). 03/26 20:55
: 推 keith291:x=1怎"發現"收斂的 請說明一下 我想知道 03/26 21:09
: → chungweitw:x=1 但入, 就是左式啊. 左式收斂 (alternating series) 03/26 21:13
: → chungweitw: 代 03/26 21:13
: 推 keith291:嗯 了解 03/26 21:20
: → hanabiz:chungweitw的說法可以參照Abel's theorem 03/26 22:11
整合一下：keith291 所回應的，正是 hanabiz 你手上有的 Apostol, Ch8 的習題。
再來就是 chungweitw 所說的 "幸運" 的確是指 Apostol, Ch9 中的 Abel 極限定理。
然而，既然提到了 "Taylor 級數", 我們該去想的是"餘項"：命 f(x)＝log(1+x)
利用 Cauchy 餘項可以瞭解到 R_n(1) → 0 as n →∞.
因此，自然會有上式： 1 - 1/2 + 1/3 - ... ＝ log 2.
NOTE.
(1) 我之前有寫過，泰勒級數 與 Power Series 以現在的數學來看，是同一件事！
可以去找一下我之前寫過的，關鍵字：泰勒。
(2) 我們知道判斷級數的值是相當困難的一件事，而 Abel 極限定理可以幫我們判
斷一些特殊級數值。
(3) 給 hanabiz, 建議你找到師大趙文敏教授所著無窮級數，這裡的 Abel 極限定
理的證明更貼近 Abel 的想法。Rudin 或 Apostol 書上的證明，感覺上在繞，
不太乾淨 =.=
(4) 別小看 Abel 極限定理，我想如果不是 Abel 死的那麼早，他應該是第一個證
明出質數定理的，而不是 Hadamard. (Hadamard 利用了 Abel 極限定理之逆定
理，證明了高斯所猜測之質數定理。)
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