→ ert0700:可以借問note 1 的部份在ch13 哪嗎 我粗略翻了一下沒看到 03/10 07:19
→ math1209:Theorem 13.3 03/10 09:33
→ ert0700:多謝 03/10 11:33
→ ikikiki:謝謝 03/11 16:53
※ 引述《ikikiki (小優)》之銘言：
: Assume that f : R^n → R^n is continuously differentiable, and that there is
: a positive number c such that
: || f(x) - f(y) ||≧ c || x-y || for all x,y in R^n.
: (a) Prove that f(R^n) is open.
: (b) Prove that f(R^n) is close.
: (c) What can you conclude from (b) and (c)
: 攤手了…..╮(﹋﹏﹌)╭..
: 和今年台大考題好像…可惜分數也飛了！
: 請教大師
由題目假設可知 Jacobian J_f (x) 不是 0.
因此 (a) 部分就是顯然。（甲）
至於 (b) 沒有什麼技巧，硬作即可。(乙)
最後 (c) 部分，由 (a) 與 (b), 可知 f(|R^n) ＝ |R^n. (丙)
NOTE.
(1) 甲部分請參考 Apostol, 高微，Ch 13. (這蠻技巧性的，該學的一種方法。）
(2) 乙部分，我採用數列語言去作，會得到一個柯西數列，etc.
(3) 丙部分是來自常識：|R^n 裡又開又閉的集合只有兩種可能：空集合或 |R^n 本身。
其實每一個步驟，我都省了很多，事實上我並不覺得這裡的 (a,b,c) 三小題是簡單的，
你只是沒看過而已 :-) 繼續加油囉～
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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