※ 引述《Potervens ()》之銘言：
: ※ 引述《clouddeep (fix point)》之銘言：
: : If g is continuous and nonegative on [0,1] with g(0)=0=g(1),
: : show that there exsit a,b in [0,1] such that g(a)=g(b) and b-a=1/2.
: : 考試的時候我居然想到要用連通性來証必然有這個中間值，
: : 真不知道在發什麼神經....orz
: : 這論述基本上還挺直觀的，不過不知道要怎樣寫比較嚴謹？
: : 本想說用基本積分定理來寫，不過非負所以遞增，好像也沒法說微分等於零？
: : 請板上大師指點，感謝！
: 首先我們把g(x)擴展到整個|R上之後(g(x)=g(x+1))，
: 定義 f(x) = g(x) - g(x+1/2) 在|R上
: 因為g本身是連續函數且g(0)=0=g(1)，所以此函數也會是連續的，
: f(0) = -g(1/2) < 0
: f(1) = g(1+1/2) = g(1/2) > 0
: 所以存在a使得
: f(a) = g(a) - g(a+1/2) = 0
Define f:[0,1/2]->|R ,f(x)=g(x)-g(x+1/2).
Then f is continuous on [0,1/2].
case 1:g(1/2)=0.Then g(0)=g(1/2).
case 2:g(1/2)>0.Then f(0)=g(0)-g(1/2)=0-g(1/2)<0 and f(1/2)=g(1/2)-g(1)
g(1/2)>0.
By I.V.T.,there exists a in (0,1/2) s.t. f(a)=0.
i.e.,g(a)=g(a+1/2)=g(b),where b=a+1/2.
Q.E.D.
--
蟬鳴定理(Cicada Crying Theorem-CCT)
蟬在叫，人壞掉
若且唯若
課堂上叫，代數當掉
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.127.53.209