推 testishard :謝謝…這樣我就懂了 09/07 23:28
※ 引述《testishard (Testishard)》之銘言：
: Let {x_1, x_2, x_3,..} denote the countable set of rational numbers.
: In each component interval I_x there will be infinitely many x_n, but
: among these there will be exactly one with smallest index n. We then
: define a functiion F by means of the equation F(I_x) = n, if x_n is
: the rational number in I_x with smallest index n. This function F is
: one-to-one since F(I_x) = F(I_y) = n implies that I_x and I_y have x_n
: in common and this implies I_x = I_y........
: 我的理解是{x_1, x_2, x_3,..}應該是所有有理數的集合，不然無法保證所有
: S的component interval I_x 都有無限多的x_n。
這裡沒錯，就是把有理數排出來，怎麼排不管。
:而且{x_1, x_2, x_3,..}裡的
: 有理數應該是由小排到大，否則後面的函數F的定義就會出問題。現在我的第一個
: 問題來了，若{x_1, x_2, x_3,..}是所有有理數由小排到大的集合，那x_1就一定
: 是最小的有理數(？？？)這怎麼可能，哪有最小的有理數這種東西，那不是負的無
: 限大嗎？
並不是這樣排，是隨便排，再仔細看一下以下的話，注意 "smallest index n"
In each component interval I_x there will be infinitely many x_n, but
among these there will be exactly one with smallest index n
: 第二個疑惑是function F的定法，照書上寫的，x_n會是在I_x裡的最小有理數
: 而且x_n屬於I_x，但是這又怎麼可能，假設I_x = (1,3)，在I_x裡並不存在最
: 小的有理數啊？(1並不屬於I_x)，若x_n不屬於I_x的話，後面F是one-to-one
: 的推論就會出問題啊？
就照你的假設， I_x = (1, 3)
如果我們的有理數是這樣列
{x1, x2, x3, ... } = {1/2, 1, 3/2, 2, ... 後面隨便反正要排完 }
雖然 1, 3/2, 2 都在 I_x 裡，作者是找"第一個"出現在 component interval 的
有理數，也就是 F(I_x) = 1。
接著作者又在後面証明 1-1，
所以每個 component interval 都可以對應到唯一的有理數。
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◆ From: 114.45.174.181
※ 編輯: forloricever 來自: 114.45.174.181 (09/07 10:08)
※ 編輯: forloricever 來自: 114.45.174.181 (09/07 10:19)