Re: [分析] 一題均勻收斂與一題面積分

[math1209 (ww)]

※ 引述《k6416337 (第一次獻給了涼宮版-光希)》之銘言：
: 2.Compute the integral ∫∫(x^2)dS on the surphere S:x^2+y^2+z^2=1.
:                          S

我給四種方法，但有兩種大同小異。

(1) 偷懶法：

命 ∫∫(x^2) dS ＝ A, 則 ∫∫(y^2) dS ＝ A ＝ ∫∫(z^2) dS
    S                     S                    S

又在球面上 x^2 ＋ y^2 ＋ z^2 ＝ 1. 所以

∫∫ 1 dS ＝ ∫∫ x^2 ＋ y^2 ＋ z^2  dS ＝ 3A.
 S             S


故 A ＝ 1/3 ．單位球之表面積 ＝ (4π)/3.

(2) 高斯散度定理： 球面上之朝外法向量 ｎ＝ａ/r, ａ：球面上的點， r 為半徑。

欲求 ∫∫(x^2) dS, 注意到若命 Ｆ ＝ (rx,0,0), 且取 ｎ ＝ (x/r,y/r,z/r)
      S

則所求 ＝ (半徑 r 為 1) ＝ ∫∫ Ｆ．ｎ dS
                             S


       ＝ ∫∫∫ div Ｆ dV by Gauss divergence Theorem,
            Ｖ

       ＝ ∫∫∫ 1 dV ＝ 單位球之體積 ＝ (4π)/3.
            Ｖ

(3) 硬幹：(注意，採右手法則：r-φ-θ） 0 ≦ φ ≦ π, 0 ≦ θ ≦ 2π.

利用球座標： x ＝ sin φ cos θ, y ＝ sin φ sin θ, z ＝ cos φ. 稱

ｒ(φ,θ) ＝ (x(φ,θ), y(φ,θ), z(φ,θ)), 則 同 (2),

所求 ＝ ∫∫ Ｆ．ｎ dS
         S

         2π  π
     ＝ ∫   ∫  [Ｆ,ｒ_φ,r_θ]  dφdθ
         0    0

     ＝ (4π)/3.

NOTE. 命 Ａ ＝ (A_1,A_2,A_3), and so on, 則  [Ａ,Ｂ,Ｃ] 表示

                            ╭ A_1  A_2  A_3 ╮
                         det│ B_1  B_2  B_3 │
                            ╰ C_1  C_2  C_3 ╯

(4) 硬幹：因 x^2 ＋ y^2 ＋ z^2 ＝ 1, 所以 z ＝ ＋(－) {1 － x^2 － y^2}^(1/2).

計算 {1 + (z_x)^2 + (z_y)^2}^(1/2) ＝ 1/{1 - x^2 - y^2}^(1/2), 則利用

對稱與極座標，我們知道：

           2π   1       r^3 (cos θ)^2
所求 ＝ 2 ∫   ∫     ------------------ dr dθ ＝ 2 ． (2π/3) ＝ (4π)/3.
           0     0     (1 － r^2 )^(1/2)

NOTE. (3) 與 (4) 非常像，其實還有其他辦法可以作這一題，只是換湯不換藥了 =.=

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◆ From: 122.116.231.200
推 clouddeep:太強了....orz
推 k6416337:的確很強 強到我看不懂orz 我連什麼散度定理都不知
推 clouddeep:我有種以前我散度定理都亂用的感覺= =
推 jovi72:大推
→ jovi72:第一個方法實在太...強了
→ clouddeep:方法一有看過  但老是沒法自己想出來= =
→ clouddeep:這真的是很厲害的方法啊....
→ k6416337:單位球表面積是4pi?
→ math1209:是阿～